Номер 31.44, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.44. a) $\sqrt{\sin 7x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$;

б) $\sqrt{\cos 5x + \cos x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$.

а) $\sqrt{\sin 7x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases}\sin 7x - \sin 5x \ge 0 \\\sin x \ge 0\end{cases}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\sin 7x - \sin 5x = \sin x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin 7x - \sin 5x - \sin x = 0$

Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ к первым двум членам:

$\sin 7x - \sin 5x = 2 \cos\left(\frac{7x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{7x-5x}{2}\right) = 2 \cos(6x)\sin x$

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \cos(6x)\sin x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos(6x) - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\sin x = 0$

2) $2 \cos(6x) - 1 = 0 \implies \cos(6x) = \frac{1}{2}$

Рассмотрим каждый случай и проверим соответствие ОДЗ.

Случай 1: $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Проверим ОДЗ:

• $\sin x = \sin(\pi k) = 0$. Условие $\sin x \ge 0$ выполнено.
• $\sin 7x - \sin 5x = \sin(7\pi k) - \sin(5\pi k) = 0 - 0 = 0$. Условие $\sin 7x - \sin 5x \ge 0$ выполнено.

Следовательно, $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ является серией решений.

Случай 2: $\cos(6x) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Проверим ОДЗ. Заметим, что из преобразования $\sin 7x - \sin 5x = 2\cos(6x)\sin x$ и условия $\cos(6x) = 1/2$ следует, что $\sin 7x - \sin 5x = 2 \cdot \frac{1}{2} \sin x = \sin x$. Таким образом, условие $\sin 7x - \sin 5x \ge 0$ эквивалентно условию $\sin x \ge 0$. Нам нужно отобрать только те корни, для которых $\sin x \ge 0$.

а) Серия $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi(1+6n)}{18}$.Условие $\sin x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится в I или II четверти, то есть $2\pi m \le x \le \pi + 2\pi m$ для $m \in \mathbb{Z}$.$2\pi m \le \frac{\pi(1+6n)}{18} \le \pi + 2\pi m \implies 36m \le 1+6n \le 18+36m$.$n$ может принимать значения $6m, 6m+1, 6m+2$. Это дает решения:$x = \frac{\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{7\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{13\pi}{18} + 2\pi m$.

б) Серия $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi(-1+6n)}{18}$.Условие $\sin x \ge 0$ выполняется, когда $2\pi m \le x \le \pi + 2\pi m$.$2\pi m \le \frac{\pi(-1+6n)}{18} \le \pi + 2\pi m \implies 36m \le -1+6n \le 18+36m$.$n$ может принимать значения $6m+1, 6m+2, 6m+3$. Это дает решения:$x = \frac{5\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{11\pi}{18} + 2\pi m$, $x = \frac{17\pi}{18} + 2\pi m$.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{7\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{11\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{13\pi}{18} + 2\pi k$, $x = \frac{17\pi}{18} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{\cos 5x + \cos x - \sin 5x} = \sqrt{\sin x}$

(Примечание: в условии задачи присутствует неоднозначно выглядящая черта дроби. Решение приводится для наиболее вероятной интерпретации уравнения, где подкоренное выражение в левой части является суммой и разностью трех членов, а черта является опечаткой.)

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

$\begin{cases}\cos 5x + \cos x - \sin 5x \ge 0 \\\sin x \ge 0\end{cases}$

Возводим обе части в квадрат:

$\cos 5x + \cos x - \sin 5x = \sin x$

Сгруппируем члены:

$(\cos 5x + \cos x) - (\sin 5x + \sin x) = 0$

Применим формулы суммы косинусов и суммы синусов:$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

$2 \cos\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) - 2 \sin\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) = 0$

$2 \cos(3x)\cos(2x) - 2 \sin(3x)\cos(2x) = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos(2x)$ за скобки:

$2 \cos(2x) (\cos(3x) - \sin(3x)) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\cos(2x) = 0$

2) $\cos(3x) - \sin(3x) = 0 \implies \cos(3x) = \sin(3x)$

Рассмотрим каждый случай. Поскольку мы решаем уравнение $\cos 5x + \cos x - \sin 5x = \sin x$, первое условие ОДЗ $\cos 5x + \cos x - \sin 5x \ge 0$ эквивалентно второму условию $\sin x \ge 0$. Поэтому достаточно проверить только условие $\sin x \ge 0$.

Случай 1: $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, для которых $\sin x \ge 0$. Это соответствует $x$ в I и II четвертях.

• При четных $n=2k$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Для $k$ четного ($k=2m$), $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m$ (I четверть, $\sin x>0$). Для $k$ нечетного ($k=2m+1$), $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$ (III четверть, $\sin x<0$).
• При нечетных $n=2k+1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2k+1)}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$. Для $k$ четного ($k=2m$), $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$ (II четверть, $\sin x>0$). Для $k$ нечетного ($k=2m+1$), $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi m$ (IV четверть, $\sin x<0$).

Подходящие серии решений: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos(3x) = \sin(3x)$

Если $\cos(3x) \neq 0$, можно разделить обе части на $\cos(3x)$:$\tan(3x) = 1$$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Отберем корни с учетом условия $\sin x \ge 0$.$x = \frac{\pi(1+4n)}{12}$.Условие $2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$ дает $24k \le 1+4n \le 12+24k$.$n$ может принимать значения $6k, 6k+1, 6k+2$.

• $n=6k \implies x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$.
• $n=6k+1 \implies x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$.
• $n=6k+2 \implies x = \frac{9\pi}{12} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. (Это решение уже найдено в случае 1).

Новые серии решений: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные уникальные серии решений, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.