Номер 31.43, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.43. $\sqrt{\cos 2x} + \sqrt{1 + \sin 2x} = 2\sqrt{\sin x + \cos x}.$

Для решения данного уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ), а затем выполним преобразования.

ОДЗ (Область допустимых значений)

Все выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:

• $\cos 2x \ge 0$
• $1 + \sin 2x \ge 0$
• $\sin x + \cos x \ge 0$

Рассмотрим каждое из этих условий:

1. Неравенство $1 + \sin 2x \ge 0$ выполняется всегда, так как наименьшее значение $\sin 2x$ равно $-1$, поэтому $1 + \sin 2x \ge 1 - 1 = 0$.

2. Неравенство $\cos 2x \ge 0$ выполняется, когда $2x$ принадлежит промежуткам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделив на 2, получаем $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$.

3. Неравенство $\sin x + \cos x \ge 0$. Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Тогда неравенство принимает вид $\sin(x + \frac{\pi}{4}) \ge 0$. Это верно, когда $x + \frac{\pi}{4} \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда получаем $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$.

Объединяя условия 2 и 3, находим общую ОДЗ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k] \cup \{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решение уравнения

Преобразуем подкоренные выражения. Используем тригонометрические тождества:

$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

С учетом ОДЗ, где $\sin x + \cos x \ge 0$, имеем $\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} + \sin x + \cos x = 2\sqrt{\sin x + \cos x}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $\sqrt{\sin x + \cos x}$ за скобки:

$\sqrt{\cos x + \sin x} \cdot \sqrt{\cos x - \sin x} + (\sqrt{\sin x + \cos x})^2 - 2\sqrt{\sin x + \cos x} = 0$.

$\sqrt{\sin x + \cos x} (\sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} - 2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1. $\sqrt{\sin x + \cos x} = 0$.

Отсюда $\sin x + \cos x = 0$. Разделив на $\cos x \ne 0$, получаем $\tan x = -1$.

Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ (являются граничными точками), следовательно, это первая серия корней.

Случай 2. $\sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} - 2 = 0$.

$\sqrt{\cos x - \sin x} + \sqrt{\sin x + \cos x} = 2$.

Заметим, что для существования корня $\sqrt{\cos x - \sin x}$ необходимо выполнение условия $\cos x - \sin x \ge 0$. С учетом этого ОДЗ сужается до $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\cos x - \sin x) + (\sin x + \cos x) + 2\sqrt{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = 4$.

$2\cos x + 2\sqrt{\cos 2x} = 4$.

$\cos x + \sqrt{\cos 2x} = 2$.

$\sqrt{\cos 2x} = 2 - \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, правая часть $2 - \cos x$ всегда положительна. Снова возведем обе части в квадрат:

$\cos 2x = (2 - \cos x)^2$.

$2\cos^2 x - 1 = 4 - 4\cos x + \cos^2 x$.

$\cos^2 x + 4\cos x - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$. Уравнение примет вид $t^2 + 4t - 5 = 0$.

Его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Так как $|\cos x| \le 1$, корень $t_2 = -5$ является посторонним.

Остается $\cos x = 1$, откуда $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эта серия решений удовлетворяет суженной ОДЗ, а значит, и исходной.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.