Номер 31.36, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.36. $sin 5x + sin x = 2 + 2 \cos^2 x$

Рассмотрим данное уравнение: $ \sin 5x + \sin x = 2 + 2\cos^2 x $.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим значения левой и правой частей уравнения.

Оценка левой части (ЛЧ):

Значения функций $ \sin 5x $ и $ \sin x $ находятся в диапазоне от $-1$ до $1$.
$ -1 \le \sin 5x \le 1 $
$ -1 \le \sin x \le 1 $
Следовательно, их сумма не может превышать $ 1 + 1 = 2 $.$ \sin 5x + \sin x \le 2 $.

Оценка правой части (ПЧ):

Значение функции $ \cos^2 x $ находится в диапазоне от $0$ до $1$.
$ 0 \le \cos^2 x \le 1 $
Умножим это неравенство на $2$:
$ 0 \le 2\cos^2 x \le 2 $
Прибавим $2$ ко всем частям неравенства:
$ 2 \le 2 + 2\cos^2 x \le 4 $
Следовательно, наименьшее значение правой части равно $2$.

Исходное равенство $ \sin 5x + \sin x = 2 + 2\cos^2 x $ возможно тогда и только тогда, когда левая часть принимает свое максимальное значение, а правая часть — свое минимальное значение, то есть когда обе части равны $2$.

Это эквивалентно решению системы уравнений:

$ \begin{cases} \sin 5x + \sin x = 2 \\ 2 + 2\cos^2 x = 2 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$ 2 + 2\cos^2 x = 2 $
$ 2\cos^2 x = 0 $
$ \cos^2 x = 0 $
$ \cos x = 0 $

Теперь рассмотрим первое уравнение. Сумма двух синусов равна $2$ только в том случае, когда каждый из синусов равен $1$.
$ \begin{cases} \sin 5x = 1 \\ \sin x = 1 \end{cases} $

Теперь нам нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $ \cos x = 0 $ и $ \sin x = 1 $.
Из уравнения $ \sin x = 1 $ получаем серию решений:
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Проверим, удовлетворяют ли эти значения $x$ остальным условиям системы.

1. Проверка для $ \cos x = 0 $:
$ \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $. Условие выполняется.

2. Проверка для $ \sin 5x = 1 $:
$ \sin(5(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 10\pi k) $.
Так как период синуса $2\pi$, то $ 10\pi k = 5k \cdot 2\pi $ является целым числом периодов, и его можно отбросить.
$ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4\pi + \pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $. Условие выполняется.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются значения $x$, удовлетворяющие уравнению $ \sin x = 1 $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z $.