Номер 31.40, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.40. $\sqrt{9 - x^2(\sin 2x - 3 \cos x)} = 0$.

Исходное уравнение имеет вид $\sqrt{A} \cdot B = 0$. Такое уравнение равносильно системе, в которой либо $A=0$, либо $B=0$, при условии, что оба выражения $A$ и $B$ определены. Для данного уравнения это означает, что выражение под корнем должно быть неотрицательно.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$9 - x^2 \ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x^2 \le 9$

$-3 \le x \le 3$

Таким образом, все решения уравнения должны находиться в промежутке $[-3, 3]$.

Уравнение $\sqrt{9 - x^2}(\sin 2x - 3 \cos x) = 0$ выполняется, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (что гарантируется выполнением условия ОДЗ).

Рассмотрим два случая:

1) Первый множитель равен нулю:

$\sqrt{9 - x^2} = 0$

Возводим обе части в квадрат:

$9 - x^2 = 0$

$x^2 = 9$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Оба этих значения принадлежат ОДЗ.

2) Второй множитель равен нулю:

$\sin 2x - 3 \cos x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x - 3 \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два независимых уравнения:

а) $\cos x = 0$

б) $2 \sin x - 3 = 0$

Решим уравнение (а): $\cos x = 0$.

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо отобрать корни, которые принадлежат отрезку $[-3, 3]$:

• При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Этот корень принадлежит отрезку $[-3, 3]$.
• При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Этот корень также принадлежит отрезку $[-3, 3]$.
• При других целых значениях $n$ (например, $n=1$ или $n=-2$) корни будут выходить за пределы отрезка $[-3, 3]$. Например, при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 > 3$, а при $n=-2$, $x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 < -3$.

Таким образом, из уравнения (а) мы получаем два корня: $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$.

Решим уравнение (б): $2 \sin x - 3 = 0$.

$2 \sin x = 3$

$\sin x = \frac{3}{2} = 1.5$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как область значений функции синус $y=\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, а $1.5 > 1$.

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $\{-3; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; 3\}$.