Номер 31.45, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 31. Методы решения тригонометрических уравнений - номер 31.45, страница 188.

Условие.

31.45. a) $sin(\pi\sqrt{5 - x^2}) = 0,5$;

б) $cos(\pi\sqrt{7 - x^2}) = -0,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) $sin(\pi\sqrt{5 - x^2}) = 0,5$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 5$
$-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$

Решим тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $sin(t) = 0,5$ имеет вид:
$t = (-1)^n \arcsin(0,5) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

В нашем случае $t = \pi\sqrt{5 - x^2}$. Подставим это в общее решение:
$\pi\sqrt{5 - x^2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\sqrt{5 - x^2} = \frac{(-1)^n}{6} + n$

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, должно выполняться условие:
$\frac{(-1)^n}{6} + n \ge 0$
Проверим это условие для различных целых $n$:
Если $n = -1$, то $-\frac{1}{6} - 1 = -\frac{7}{6} < 0$. Не подходит.
Если $n = 0$, то $\frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{6} \ge 0$. Подходит.
Если $n = 1$, то $-\frac{1}{6} + 1 = \frac{5}{6} \ge 0$. Подходит.
Для всех $n \ge 0$ это неравенство будет верным.

Также, из ОДЗ мы знаем, что $\sqrt{5 - x^2} \le \sqrt{5}$. Значит:
$\frac{(-1)^n}{6} + n \le \sqrt{5}$
Так как $2 < \sqrt{5} < 3$ ($\sqrt{5} \approx 2,236$), проверим значения $n \ge 0$:
При $n = 0$: $\frac{1}{6} \approx 0,167 \le \sqrt{5}$. Подходит.
При $n = 1$: $\frac{5}{6} \approx 0,833 \le \sqrt{5}$. Подходит.
При $n = 2$: $\frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} \approx 2,167 \le \sqrt{5}$. Подходит.
При $n = 3$: $-\frac{1}{6} + 3 = \frac{17}{6} \approx 2,833 > \sqrt{5}$. Не подходит.
При $n > 3$ значения будут еще больше. Следовательно, возможные значения $n$: $0, 1, 2$.

Найдем $x$ для каждого из этих значений $n$:
1. Если $n=0$: $\sqrt{5 - x^2} = \frac{1}{6}$. Возведем в квадрат: $5 - x^2 = \frac{1}{36} \implies x^2 = 5 - \frac{1}{36} = \frac{179}{36} \implies x = \pm\frac{\sqrt{179}}{6}$.
2. Если $n=1$: $\sqrt{5 - x^2} = \frac{5}{6}$. Возведем в квадрат: $5 - x^2 = \frac{25}{36} \implies x^2 = 5 - \frac{25}{36} = \frac{155}{36} \implies x = \pm\frac{\sqrt{155}}{6}$.
3. Если $n=2$: $\sqrt{5 - x^2} = \frac{13}{6}$. Возведем в квадрат: $5 - x^2 = \frac{169}{36} \implies x^2 = 5 - \frac{169}{36} = \frac{11}{36} \implies x = \pm\frac{\sqrt{11}}{6}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{11}}{6}, x = \pm\frac{\sqrt{155}}{6}, x = \pm\frac{\sqrt{179}}{6}$.

б) $cos(\pi\sqrt{7 - x^2}) = -0,5$

Область допустимых значений (ОДЗ):
$7 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 7 \implies -\sqrt{7} \le x \le \sqrt{7}$.

Общее решение для уравнения $cos(t) = -0,5$ имеет вид:
$t = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(-0,5) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Подставляем $t = \pi\sqrt{7 - x^2}$:
$\pi\sqrt{7 - x^2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Разделим обе части на $\pi$:
$\sqrt{7 - x^2} = \pm \frac{2}{3} + 2n$

Значение корня должно быть неотрицательным. Рассмотрим две серии решений.
1. $\sqrt{7 - x^2} = \frac{2}{3} + 2n$.
Условие неотрицательности: $\frac{2}{3} + 2n \ge 0 \implies 2n \ge -\frac{2}{3} \implies n \ge -\frac{1}{3}$. Значит, $n \ge 0$.
Из ОДЗ: $\sqrt{7 - x^2} \le \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7} \approx 2,646$:
$\frac{2}{3} + 2n \le \sqrt{7}$
При $n = 0$: $\frac{2}{3} \approx 0,667 \le \sqrt{7}$. Подходит.
При $n = 1$: $\frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \approx 2,667 > \sqrt{7}$. Не подходит.
Таким образом, в этой серии подходит только $n = 0$.

2. $\sqrt{7 - x^2} = -\frac{2}{3} + 2n$.
Условие неотрицательности: $-\frac{2}{3} + 2n \ge 0 \implies 2n \ge \frac{2}{3} \implies n \ge \frac{1}{3}$. Значит, $n \ge 1$.
Проверяем условие $\sqrt{7 - x^2} \le \sqrt{7}$:
$-\frac{2}{3} + 2n \le \sqrt{7}$
При $n = 1$: $-\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \approx 1,333 \le \sqrt{7}$. Подходит.
При $n = 2$: $-\frac{2}{3} + 4 = \frac{10}{3} \approx 3,333 > \sqrt{7}$. Не подходит.
В этой серии подходит только $n = 1$.

Найдем $x$ для каждого найденного случая:
1. Для $n = 0$ из первой серии: $\sqrt{7 - x^2} = \frac{2}{3}$. Возведем в квадрат: $7 - x^2 = \frac{4}{9} \implies x^2 = 7 - \frac{4}{9} = \frac{59}{9} \implies x = \pm\frac{\sqrt{59}}{3}$.
2. Для $n = 1$ из второй серии: $\sqrt{7 - x^2} = \frac{4}{3}$. Возведем в квадрат: $7 - x^2 = \frac{16}{9} \implies x^2 = 7 - \frac{16}{9} = \frac{47}{9} \implies x = \pm\frac{\sqrt{47}}{3}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{47}}{3}, x = \pm\frac{\sqrt{59}}{3}$.