Номер 31.48, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.48. a) Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$. Известно, что $x = 0$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

б) Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} + \sin x = 0$. Известно, что $x = -\frac{\pi}{2}$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

а)

Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$.

По условию известно, что $x=0$ является корнем этого уравнения. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

При $x=0$ имеем: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$, $\sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$.

$\sqrt{a \cdot 1 - 3 \cdot 0} = 1$

$\sqrt{a} = 1$

Возведя обе части в квадрат, получаем $a = 1$.

Теперь необходимо решить уравнение при найденном значении параметра $a=1$:

$\sqrt{\cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Во-вторых, правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} \cos 2x - 3 \sin 2x \ge 0 \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

При выполнении условия $\cos x \ge 0$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$\cos 2x - 3 \sin 2x = \cos^2 x$

Применим формулы двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$(\cos^2 x - \sin^2 x) - 3(2 \sin x \cos x) = \cos^2 x$

$-\sin^2 x - 6 \sin x \cos x = 0$

$\sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 6 \cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0$. Отсюда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\cos x \ge 0$. Для $x = \pi k$, имеем $\cos(\pi k) = (-1)^k$. Неравенство $(-1)^k \ge 0$ выполняется только при четных $k$. Пусть $k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями являются $x = 2\pi n$.
Проверим второе условие ОДЗ: $\cos(2(2\pi n)) - 3\sin(2(2\pi n)) = \cos(4\pi n) - 3\sin(4\pi n) = 1 - 0 = 1 \ge 0$. Условие выполнено. Первая серия корней: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + 6 \cos x = 0$.
Заметим, что $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Разделим обе части на $\cos x$:

$\tan x + 6 = 0 \implies \tan x = -6$.

Отсюда $x = \arctan(-6) + \pi m = -\arctan(6) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие ОДЗ $\cos x \ge 0$. Поскольку $\tan x < 0$, угол $x$ может находиться во II или IV координатной четверти. Условие $\cos x \ge 0$ выполняется в I и IV четвертях. Следовательно, нам подходят только углы из IV четверти, что соответствует четным значениям $m$. Пусть $m=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия корней: $x = -\arctan(6) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка второго условия ОДЗ для этих корней: из $\sin x = -6\cos x$ следует $\cos 2x - 3\sin 2x = (\cos^2 x - \sin^2 x) - 3(2\sin x \cos x) = \cos^2 x - (-6\cos x)^2 - 6(-6\cos x)\cos x = \cos^2 x - 36\cos^2 x + 36\cos^2 x = \cos^2 x \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $2\pi n, -\arctan(6) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение с параметром $a$: $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} + \sin x = 0$.

По условию известно, что $x = -\frac{\pi}{2}$ является корнем этого уравнения. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

При $x = -\frac{\pi}{2}$ имеем: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, $\sin(2(-\frac{\pi}{2})) = \sin(-\pi) = 0$, $\cos(2(-\frac{\pi}{2})) = \cos(-\pi) = -1$.

$\sqrt{2 \cdot 0 - a \cdot (-1)} + (-1) = 0$

$\sqrt{a} - 1 = 0$

$\sqrt{a} = 1 \implies a = 1$.

Теперь необходимо решить уравнение при найденном значении параметра $a=1$:

$\sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} + \sin x = 0$

Перенесем $\sin x$ в правую часть:

$\sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} = -\sin x$

ОДЗ данного уравнения:

$\begin{cases} 2 \sin 2x - \cos 2x \ge 0 \\ -\sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0 \end{cases}$

При выполнении условия $\sin x \le 0$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$2 \sin 2x - \cos 2x = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$

Применим формулы двойного угла:

$2(2 \sin x \cos x) - (\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4 \sin x - \cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0$. Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\sin x \le 0$. Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$. Неравенство $(-1)^k \le 0$ выполняется только при нечетных $k$. Пусть $k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + (2n+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, что эквивалентно $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Проверим второе условие ОДЗ: $2\sin(2(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) - \cos(2(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = 2\sin(-\pi) - \cos(-\pi) = 0 - (-1) = 1 \ge 0$. Условие выполнено. Первая серия корней: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $4 \sin x - \cos x = 0$.
Разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$4 \tan x - 1 = 0 \implies \tan x = \frac{1}{4}$.

Отсюда $x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие ОДЗ $\sin x \le 0$. Поскольку $\tan x > 0$, угол $x$ может находиться в I или III координатной четверти. Условие $\sin x \le 0$ выполняется в III и IV четвертях. Следовательно, нам подходят только углы из III четверти, что соответствует нечетным значениям $m$. Пусть $m=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия корней: $x = \arctan(\frac{1}{4}) + (2n+1)\pi = \pi + \arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка второго условия ОДЗ для этих корней: из $4\sin x = \cos x$ следует $2\sin 2x - \cos 2x = 4\sin x \cos x - (\cos^2 x - \sin^2 x) = \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x = \sin^2 x \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + \arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.