Номер 31.47, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.47. $\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 4 \sin x \cos x.$

Решим тригонометрическое уравнение $ \sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 4 \sin x \cos x $.

Для решения введем замену переменной. Пусть $ t = \sin x + \cos x $.

Чтобы выразить произведение $ \sin x \cos x $ через $t$, возведем обе части равенства $ t = \sin x + \cos x $ в квадрат:

$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:

$ t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x $.

Отсюда выразим $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $. Правая часть исходного уравнения равна $ 4 \sin x \cos x = 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2(t^2 - 1) $.

Подставим замену в исходное уравнение:

$ \sqrt{2} t = 2(t^2 - 1) $.

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $t$:

$ 2t^2 - \sqrt{2}t - 2 = 0 $.

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 $.

Найдем корни $t_{1,2}$:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4} $.

Получаем два значения для $t$:

$ t_1 = \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} $.

$ t_2 = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Проверим, являются ли эти значения допустимыми для выражения $ t = \sin x + \cos x $. Преобразуем его, используя метод вспомогательного угла:

$ t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) $.

Поскольку область значений функции синус есть $ [-1, 1] $, то область значений для $t$ есть отрезок $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Оба найденных корня $t_1 = \sqrt{2}$ и $t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежат этому отрезку, поэтому оба являются допустимыми.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

При $t = \sqrt{2}$ получаем уравнение $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} $, или $ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} $, что равносильно $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 $. Отсюда получаем первую серию решений:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

При $ t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ получаем уравнение $ \sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, или $ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, что равносильно $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} $. Это уравнение дает две серии решений:

1) $ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) $ x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi m = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi m = \frac{14\pi - 3\pi}{12} + 2\pi m = \frac{11\pi}{12} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k; \quad x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi m $, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.