Номер 31.42, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.42. a) $(\cot \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x) \sqrt{4x - x^2 + 5} = 0;$

б) $(2 \sin 2x - \tan x) \sqrt{2 - x - x^2} = 0.$

а)

Решим уравнение $(\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x) \sqrt{4x - x^2 + 5} = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4x - x^2 + 5 \ge 0$
$x^2 - 4x - 5 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 4x - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1, 5]$.

2. Аргумент котангенса $\ctg \frac{x}{2}$ должен быть определен, то есть $\sin \frac{x}{2} \ne 0$.
$\frac{x}{2} \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x \ne 2\pi k$
В отрезок $[-1, 5]$ попадает одно значение, которое нужно исключить: $x = 0$ (при $k=0$).

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 5]$.

Теперь рассмотрим два случая, в которых произведение равно нулю:

Случай 1: $\sqrt{4x - x^2 + 5} = 0$.
Это равносильно $4x - x^2 + 5 = 0$, корни которого мы уже нашли: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Оба значения принадлежат ОДЗ. При этих значениях $x$ первый множитель $(\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x)$ определен. Значит, $x = -1$ и $x = 5$ — решения уравнения.

Случай 2: $\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x = 0$ при условии, что $x \in [-1, 0) \cup (0, 5]$.
Используем тригонометрическую формулу $\ctg \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$ (она верна при $\sin x \ne 0$).
$\frac{1+\cos x}{\sin x} - \frac{2}{3} \sin x = 0$
$3(1+\cos x) = 2\sin^2 x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, получаем:
$3 + 3\cos x = 2(1 - \cos^2 x)$
$2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$
Пусть $t = \cos x$, где $t \in [-1, 1]$.
$2t^2 + 3t + 1 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{-3 + \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{9-8}}{4} = -1$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-1, 5]$ попадает только $x = \pi$ (при $n=0$). При этом значении $\sin x = 0$, поэтому наше преобразование было некорректным. Проверим $x=\pi$ подстановкой в исходное уравнение $\ctg \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin x = 0$:
$\ctg \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \sin \pi = 0 - 0 = 0$.
Равенство верно, и $x=\pi$ принадлежит ОДЗ. Значит, $x=\pi$ — решение.

2) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Найдём корни, принадлежащие отрезку $[-1, 5]$.
Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ подходит $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$ (при $n=0$).
Из серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ подходит $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$ (при $n=1$).
Оба значения, $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$, входят в ОДЗ. Значит, они являются решениями.

Соберем все найденные корни: $x = -1$, $x = 5$, $x = \pi$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $\{-1, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, 5\}$.

б)

Решим уравнение $(2 \sin 2x - \tg x) \sqrt{2 - x - x^2} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x - x^2 \ge 0$
$x^2 + x - 2 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Неравенство выполняется при $x \in [-2, 1]$.

2. Тангенс $\tg x$ должен быть определен, то есть $\cos x \ne 0$.
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-2, 1]$ попадает значение $x = -\frac{\pi}{2}$ (при $k=-1$), которое нужно исключить. ($-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$).

ОДЗ: $x \in [-2, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, 1]$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{2 - x - x^2} = 0$.
$2 - x - x^2 = 0 \implies x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Оба корня принадлежат ОДЗ, и при этих значениях первый множитель $(2 \sin 2x - \tg x)$ определен. Следовательно, $x=1$ и $x=-2$ являются решениями.

Случай 2: $2 \sin 2x - \tg x = 0$ при $x \in [-2, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, 1]$.
$2 (2 \sin x \cos x) - \frac{\sin x}{\cos x} = 0$
$4 \sin x \cos x - \frac{\sin x}{\cos x} = 0$
$\sin x \left( 4\cos x - \frac{1}{\cos x} \right) = 0$
Поскольку по ОДЗ $\cos x \ne 0$, это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-2, 1]$ попадает только $x = 0$ (при $n=0$). Это значение входит в ОДЗ. Значит, $x=0$ — решение.

2) $4\cos x - \frac{1}{\cos x} = 0 \implies 4\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{4}$.
Отсюда $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$.

а) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
В ОДЗ $x \in [-2, 1]$ попадает только корень $x = -\frac{\pi}{3}$ (при $n=0$). ($-\frac{\pi}{3} \approx -1.05$). Значение $x = \frac{\pi}{3} > 1$ не подходит. Значит, $x = -\frac{\pi}{3}$ — решение.

б) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим, попадают ли корни в отрезок $[-2, 1]$.
$x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 > 1$.
$x = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09 < -2$.
Ни один корень из этой серии не входит в ОДЗ.

Объединяя все найденные решения, получаем: $x = -2$, $x = 1$, $x = 0$, $x = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\{-2, -\frac{\pi}{3}, 0, 1\}$.