Номер 31.37, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.37. $ ( \sin x + \sqrt{3} \cos x ) \sin 3x = 2 $.

Преобразуем выражение в скобках $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a=1$ и $b=\sqrt{3}$.

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Тогда выражение в скобках примет вид:

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставив эти значения, получим:

$2(\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$2\sin(x + \frac{\pi}{3})$.

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное уравнение:

$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) \sin 3x = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \sin 3x = 1$.

Произведение двух синусов равно 1. Поскольку область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$, такое равенство возможно только в двух случаях: либо оба сомножителя равны 1, либо оба равны -1.

Случай 1: Оба множителя равны 1.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1 \\ \sin 3x = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения общих решений приравняем полученные выражения: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, откуда $k = \frac{n}{3}$. Это равенство выполняется для целых $k$ и $n$, если $n$ кратно 3. Таким образом, решения этой системы: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Оба множителя равны -1.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = -1 \\ \sin 3x = -1 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Приравняем решения: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$. После упрощения получим $3k-n=1$, или $n=3k-1$. Поскольку для любого целого $k$ существует соответствующее целое $n$, система имеет решения: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно представить на единичной окружности точками $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. Расстояние между этими точками составляет $\pi$. Поэтому решения можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.