Номер 31.34, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.34. a) $2 \cot 3x - 2 \tan 3x - 4 \tan 6x = 1;$

б) $\cot x - \tan x - 2 \tan 2x - 4 \tan 4x = 8 \tan 8x.$

а) $2 \operatorname{ctg} 3x - 2 \operatorname{tg} 3x - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функции $\operatorname{ctg} 3x$, $\operatorname{tg} 3x$ и $\operatorname{tg} 6x$ должны быть определены:

$\sin 3x \ne 0 \implies 3x \ne \pi k \implies x \ne \frac{\pi k}{3}$

$\cos 3x \ne 0 \implies 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$

$\cos 6x \ne 0 \implies 6x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для решения воспользуемся тригонометрическим тождеством: $\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha = 2 \operatorname{ctg} 2\alpha$.

Доказательство тождества:

$\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2 \operatorname{ctg} 2\alpha$.

Преобразуем левую часть исходного уравнения. Вынесем 2 за скобки:

$2(\operatorname{ctg} 3x - \operatorname{tg} 3x) - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

Применим тождество для $\alpha = 3x$:

$\operatorname{ctg} 3x - \operatorname{tg} 3x = 2 \operatorname{ctg} (2 \cdot 3x) = 2 \operatorname{ctg} 6x$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2(2 \operatorname{ctg} 6x) - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

$4 \operatorname{ctg} 6x - 4 \operatorname{tg} 6x = 1$

Вынесем 4 за скобки:

$4(\operatorname{ctg} 6x - \operatorname{tg} 6x) = 1$

Снова применим тождество, теперь для $\alpha = 6x$:

$\operatorname{ctg} 6x - \operatorname{tg} 6x = 2 \operatorname{ctg} (2 \cdot 6x) = 2 \operatorname{ctg} 12x$.

Подставим в уравнение:

$4(2 \operatorname{ctg} 12x) = 1$

$8 \operatorname{ctg} 12x = 1$

$\operatorname{ctg} 12x = \frac{1}{8}$

Отсюда находим решение для $x$:

$12x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{8}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{12}\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{\pi n}{12}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Полученные решения удовлетворяют ОДЗ, так как если $\operatorname{ctg} 12x = 1/8$, то $\sin 12x \ne 0$ и $\cos 12x \ne 0$, что гарантирует, что все функции в исходном уравнении определены.

Ответ: $x = \frac{1}{12}\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{\pi n}{12}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x - 2 \operatorname{tg} 2x - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все тангенсы и котангенс в уравнении должны быть определены:

$\sin x \ne 0, \cos x \ne 0 \implies \sin 2x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi k}{2}$

$\cos 2x \ne 0 \implies 2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

$\cos 4x \ne 0 \implies 4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$

$\cos 8x \ne 0 \implies 8x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для решения будем последовательно использовать тождество $\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha = 2 \operatorname{ctg} 2\alpha$.

Рассмотрим выражение $\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x$. Применим тождество при $\alpha = x$:

$\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x = 2 \operatorname{ctg} 2x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \operatorname{ctg} 2x - 2 \operatorname{tg} 2x - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Вынесем 2 за скобки в левой части:

$2(\operatorname{ctg} 2x - \operatorname{tg} 2x) - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Снова применим тождество, теперь для $\alpha = 2x$:

$\operatorname{ctg} 2x - \operatorname{tg} 2x = 2 \operatorname{ctg}(2 \cdot 2x) = 2 \operatorname{ctg} 4x$.

Подставим обратно в уравнение:

$2(2 \operatorname{ctg} 4x) - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

$4 \operatorname{ctg} 4x - 4 \operatorname{tg} 4x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Вынесем 4 за скобки:

$4(\operatorname{ctg} 4x - \operatorname{tg} 4x) = 8 \operatorname{tg} 8x$

Применим тождество для $\alpha = 4x$:

$\operatorname{ctg} 4x - \operatorname{tg} 4x = 2 \operatorname{ctg}(2 \cdot 4x) = 2 \operatorname{ctg} 8x$.

Подставим в уравнение:

$4(2 \operatorname{ctg} 8x) = 8 \operatorname{tg} 8x$

$8 \operatorname{ctg} 8x = 8 \operatorname{tg} 8x$

Разделим обе части на 8:

$\operatorname{ctg} 8x = \operatorname{tg} 8x$

Это уравнение равносильно $\operatorname{tg}^2 8x = 1$, при условии, что $\cos 8x \ne 0$ и $\sin 8x \ne 0$.

Запишем уравнение в виде:

$\frac{\cos 8x}{\sin 8x} = \frac{\sin 8x}{\cos 8x}$

$\cos^2 8x = \sin^2 8x$

$\cos^2 8x - \sin^2 8x = 0$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$\cos(2 \cdot 8x) = 0$

$\cos 16x = 0$

Решением этого уравнения является:

$16x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{16}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ. Условие $\cos 16x = 0$ означает, что $\cos^2 8x = \sin^2 8x$. Так как $\cos^2 8x + \sin^2 8x = 1$, то $\sin^2 8x = \cos^2 8x = 1/2$. Следовательно, $\sin 8x \ne 0$ и $\cos 8x \ne 0$. Это гарантирует, что все тангенсы и котангенсы в исходном уравнении определены, так как ни один из аргументов $x, 2x, 4x, 8x$ не является кратным $\pi/2$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{16}, n \in \mathbb{Z}$.