Номер 31.28, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.28. Сколько корней уравнения

$(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = 2 + 2 \cos \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

удовлетворяют неравенству $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + x + 3} \le 0$?

Для ответа на вопрос необходимо сначала решить тригонометрическое уравнение, затем решить неравенство и, наконец, подсчитать, сколько корней уравнения попадают в множество решений неравенства.

1. Решение тригонометрического уравнения

Исходное уравнение: $(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 = 2 + 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Преобразуем выражение в скобках в левой части уравнения, применив метод введения вспомогательного угла:
$ \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\sin 2x + \sin\frac{\pi}{3}\cos 2x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) $.

Тогда левая часть уравнения примет вид: $(2\sin(2x + \frac{\pi}{3}))^2 = 4\sin^2(2x + \frac{\pi}{3})$.

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$. Заметим, что $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2x)$, следовательно:
$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2x)) = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Подставим полученное выражение в уравнение:
$4\cos^2(\frac{\pi}{6} - 2x) = 2 + 2\cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Произведем замену переменной. Пусть $y = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$. Уравнение преобразуется в квадратное:
$4y^2 = 2 + 2y$, что равносильно $2y^2 - y - 1 = 0$.

Находим корни квадратного уравнения:
$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.
$y_1 = 1$, $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

1) $\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = 1$.
$\frac{\pi}{6} - 2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$-2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} - \pi k$. Так как $k$ — любое целое число, это эквивалентно серии корней $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -\frac{1}{2}$.
$\frac{\pi}{6} - 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
а) $\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies -2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies -2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} - \pi n$. Эта серия эквивалентна $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\frac{\pi}{6} - 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \implies -2x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi m \implies -2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \frac{5\pi}{12} - \pi m$. Эта серия эквивалентна $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, все решения уравнения описываются тремя сериями корней:
1. $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2. $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
3. $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

2. Решение неравенства

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + x + 3} \le 0$.

Проанализируем знаменатель дроби $x^2 + x + 3$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 + x + 3$ принимает только положительные значения при всех действительных $x$.

Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:
$x^2 - x - 12 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Неравенство можно переписать в виде $(x-4)(x+3) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 4]$.

3. Отбор корней и подсчет их количества

Теперь необходимо найти, сколько корней из полученных серий принадлежит отрезку $[-3, 4]$. Для этого решим соответствующие двойные неравенства для каждой серии, используя приближение $\pi \approx 3.14$.

Серия 1: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$
$-3 \le \frac{\pi}{12} + \pi k \le 4 \implies \frac{-3}{\pi} \le \frac{1}{12} + k \le \frac{4}{\pi} \implies \frac{-3}{\pi} - \frac{1}{12} \le k \le \frac{4}{\pi} - \frac{1}{12}$.
Приблизительные вычисления: $-0.955 - 0.083 \le k \le 1.274 - 0.083 \implies -1.038 \le k \le 1.191$.
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k \in \{-1, 0, 1\}$. Всего 3 корня.

Серия 2: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
$-3 \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le 4 \implies \frac{-3}{\pi} \le -\frac{1}{4} + n \le \frac{4}{\pi} \implies \frac{-3}{\pi} + \frac{1}{4} \le n \le \frac{4}{\pi} + \frac{1}{4}$.
Приблизительные вычисления: $-0.955 + 0.25 \le n \le 1.274 + 0.25 \implies -0.705 \le n \le 1.524$.
Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n \in \{0, 1\}$. Всего 2 корня.

Серия 3: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m$
$-3 \le \frac{5\pi}{12} + \pi m \le 4 \implies \frac{-3}{\pi} \le \frac{5}{12} + m \le \frac{4}{\pi} \implies \frac{-3}{\pi} - \frac{5}{12} \le m \le \frac{4}{\pi} - \frac{5}{12}$.
Приблизительные вычисления: $-0.955 - 0.417 \le m \le 1.274 - 0.417 \implies -1.372 \le m \le 0.857$.
Целые значения $m$, удовлетворяющие этому неравенству: $m \in \{-1, 0\}$. Всего 2 корня.

Суммируем количество найденных корней из всех серий: $3 + 2 + 2 = 7$.

Ответ: 7