Номер 31.23, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.23. а) $ \cos \frac{4x}{3} = \cos^2 x; $

б) $ 32 \cos^6 x - \cos 6x = 1. $

а) $ \cos{\frac{4x}{3}} = \cos^2{x} $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой понижения степени для косинуса в правой части: $ \cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} $.

После подстановки уравнение принимает вид:

$ \cos{\frac{4x}{3}} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} $

$ 2\cos{\frac{4x}{3}} = 1 + \cos{2x} $

Чтобы упростить аргументы тригонометрических функций, введем замену переменной. Пусть $ y = \frac{2x}{3} $. Тогда $ 2x = 3y $, и, следовательно, $ \frac{4x}{3} = 2y $.

Уравнение в новых переменных:

$ 2\cos(2y) = 1 + \cos(3y) $

Применим формулы косинуса двойного и тройного угла: $ \cos(2y) = 2\cos^2{y} - 1 $ и $ \cos(3y) = 4\cos^3{y} - 3\cos{y} $.

$ 2(2\cos^2{y} - 1) = 1 + (4\cos^3{y} - 3\cos{y}) $

$ 4\cos^2{y} - 2 = 1 + 4\cos^3{y} - 3\cos{y} $

Перенесем все члены в правую часть и получим кубическое уравнение относительно $ \cos{y} $:

$ 4\cos^3{y} - 4\cos^2{y} - 3\cos{y} + 3 = 0 $

Сгруппируем члены для разложения на множители:

$ 4\cos^2{y}(\cos{y} - 1) - 3(\cos{y} - 1) = 0 $

$ (4\cos^2{y} - 3)(\cos{y} - 1) = 0 $

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ \cos{y} - 1 = 0 \implies \cos{y} = 1 $

Решением этого уравнения является $ y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 4\cos^2{y} - 3 = 0 \implies \cos^2{y} = \frac{3}{4} $

Это уравнение равносильно $ \cos{y} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $. Чтобы найти общее решение, можно снова использовать формулу понижения степени: $ \frac{1+\cos(2y)}{2} = \frac{3}{4} $, откуда $ 1+\cos(2y) = \frac{3}{2} $, то есть $ \cos(2y) = \frac{1}{2} $.

Решением этого уравнения является $ 2y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, что дает $ y = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выполним обратную замену $ x = \frac{3y}{2} $, чтобы найти решения для $ x $.

Из $ y = 2\pi k $ получаем $ x = \frac{3(2\pi k)}{2} = 3\pi k $.

Из $ y = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $ получаем $ x = \frac{3}{2} \left( \pm\frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \pm\frac{3\pi}{12} + \frac{3\pi n}{2} = \pm\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2} $.

Ответ: $ 3\pi k, \pm\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ 32 \cos^6{x} - \cos{6x} = 1 $

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы понижения степени. Сначала выразим $ 32\cos^6{x} $ через косинусы кратных углов.

Используем формулу $ \cos^2{x} = \frac{1+\cos(2x)}{2} $. Возведем ее в куб:

$ \cos^6{x} = (\cos^2{x})^3 = \left( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}(1 + 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) + \cos^3(2x)) $.

Теперь используем формулы $ \cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2} $ и $ \cos^3(2x) = \frac{3\cos(2x) + \cos(6x)}{4} $. Последняя следует из формулы тройного угла $ \cos(3\alpha)=4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha $ при $ \alpha = 2x $.

Подставим эти выражения:

$ 32\cos^6{x} = 32 \cdot \frac{1}{8} \left( 1 + 3\cos(2x) + 3\left(\frac{1+\cos(4x)}{2}\right) + \frac{3\cos(2x) + \cos(6x)}{4} \right) $

$ 32\cos^6{x} = 4 \left( 1 + 3\cos(2x) + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + \frac{1}{4}\cos(6x) \right) $

Приведем подобные члены внутри скобок:

$ 32\cos^6{x} = 4 \left( \frac{5}{2} + \left(3+\frac{3}{4}\right)\cos(2x) + \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(6x) \right) $

$ 32\cos^6{x} = 4 \left( \frac{5}{2} + \frac{15}{4}\cos(2x) + \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{1}{4}\cos(6x) \right) $

$ 32\cos^6{x} = 10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) + \cos(6x) $.

Теперь подставим это тождество в исходное уравнение:

$ (10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) + \cos(6x)) - \cos(6x) = 1 $

Члены с $ \cos(6x) $ взаимно уничтожаются:

$ 10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) = 1 $

$ 6\cos(4x) + 15\cos(2x) + 9 = 0 $

Разделим все уравнение на 3:

$ 2\cos(4x) + 5\cos(2x) + 3 = 0 $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $:

$ 2(2\cos^2(2x) - 1) + 5\cos(2x) + 3 = 0 $

$ 4\cos^2(2x) - 2 + 5\cos(2x) + 3 = 0 $

$ 4\cos^2(2x) + 5\cos(2x) + 1 = 0 $

Сделаем замену $ u = \cos(2x) $. Получаем квадратное уравнение: $ 4u^2 + 5u + 1 = 0 $.

Находим корни по формуле для корней квадратного уравнения. Дискриминант $ D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 $.

$ u = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm 3}{8} $

Корни: $ u_1 = \frac{-5 - 3}{8} = -1 $ и $ u_2 = \frac{-5 + 3}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} $.

Выполним обратную замену:

1) $ \cos(2x) = -1 $

$ 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(2x) = -\frac{1}{4} $

$ 2x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n \implies x = \pm\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z} $.