Номер 31.18, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

31.18. a) $3 \sin 2x + \cos 2x = 2;$

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1.$

a) $3 \sin 2x + \cos 2x = 2$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha = c$. Для его решения удобно использовать универсальную тригонометрическую подстановку. В данном случае $\alpha = 2x$.

Воспользуемся формулами универсальной подстановки через тангенс половинного угла. Пусть $t = \tan(\frac{2x}{2}) = \tan x$.

Эта подстановка требует, чтобы $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ решениями исходного уравнения. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $2x = \pi + 2\pi n$. Тогда $\sin(2x) = \sin(\pi + 2\pi n) = 0$ и $\cos(2x) = \cos(\pi + 2\pi n) = -1$. Подставив в уравнение, получим $3 \cdot 0 + (-1) = 2$, что является неверным равенством ($-1 \neq 2$). Следовательно, мы не теряем корней при использовании этой подстановки.

Выразим $\sin 2x$ и $\cos 2x$ через $t = \tan x$:

$\sin 2x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда положительно):

$6t + 1 - t^2 = 2(1+t^2)$

$6t + 1 - t^2 = 2 + 2t^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$

Корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Мы получили два значения для $t$: $t_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $t_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь сделаем обратную подстановку $t = \tan x$ для каждого корня:

1) $\tan x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \implies x = \arctan\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$.

2) $\tan x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \implies x = \arctan\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$.

Ответ: $x = \arctan\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$; $x = \arctan\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$

Перепишем уравнение в виде $2 \sin 4x + \cos 4x = 1$. Это также линейное тригонометрическое уравнение, где аргумент $\alpha = 4x$.

Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(\frac{4x}{2}) = \tan(2x)$.

Эта подстановка требует, чтобы $\cos(2x) \neq 0$, то есть $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ решениями. Если $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $4x = \pi + 2\pi k$. Тогда $\sin(4x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$ и $\cos(4x) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1$. Подставив в уравнение, получим $-1 + 2 \cdot 0 = 1$, что неверно ($-1 \neq 1$). Следовательно, при использовании данной подстановки корни не теряются.

Выразим $\sin 4x$ и $\cos 4x$ через $t = \tan(2x)$:

$\sin 4x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 4x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{1-t^2}{1+t^2} + 2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) = 1$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$1 - t^2 + 4t = 1 + t^2$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные:

$2t^2 - 4t = 0$

Вынесем общий множитель $2t$ за скобки:

$2t(t - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$2t=0 \implies t=0$

$t-2=0 \implies t=2$

Теперь выполним обратную подстановку $t = \tan(2x)$:

1) $\tan(2x) = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan(2x) = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$; $x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.