Номер 31.15, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.15. $2\sin^3 x - \cos 2x = \sin x$

Для решения уравнения $2\sin^3x - \cos(2x) = \sin x$ приведем все его члены к одной тригонометрической функции. Наиболее удобно выразить всё через $\sin x$. Для этого воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.

Подставим это тождество в исходное уравнение:

$2\sin^3x - (1 - 2\sin^2x) = \sin x$

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$2\sin^3x - 1 + 2\sin^2x - \sin x = 0$

$2\sin^3x + 2\sin^2x - \sin x - 1 = 0$

Для упрощения введём замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как значения синуса ограничены отрезком $[-1, 1]$, то и для переменной $t$ должно выполняться условие $t \in [-1, 1]$. Уравнение примет вид кубического уравнения относительно $t$:

$2t^3 + 2t^2 - t - 1 = 0$

Решим это уравнение методом группировки слагаемых:

$(2t^3 + 2t^2) - (t + 1) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$2t^2(t + 1) - 1(t + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(t + 1)$:

$(2t^2 - 1)(t + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $t + 1 = 0$, откуда $t = -1$.

2) $2t^2 - 1 = 0$, откуда $2t^2 = 1$, $t^2 = \frac{1}{2}$, и, следовательно, $t = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все найденные значения $t$ ($-1$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2}$) принадлежат отрезку $[-1, 1]$, следовательно, все они являются решениями уравнения для $t$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.

В первом случае, при $t = -1$, получаем:

$\sin x = -1$

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения, корни которого: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Во втором случае, при $t = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение можно решить, объединив два случая в один: $\sin^2 x = \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для решения уравнения $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi j$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, находим вторую серию корней для $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi j}{2}$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Объединив обе серии корней, получаем полное решение исходного уравнения.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi j}{2}, j \in \mathbb{Z}$.