Номер 31.10, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.10. а) $5 \sin 3x + 2 \sin x = 0$;

б) $7 \cos 3x - 3 \cos x = 0$.

а) $5 \sin 3x + 2 \sin x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$5(3 \sin x - 4 \sin^3 x) + 2 \sin x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$15 \sin x - 20 \sin^3 x + 2 \sin x = 0$

$17 \sin x - 20 \sin^3 x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (17 - 20 \sin^2 x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $17 - 20 \sin^2 x = 0$

$20 \sin^2 x = 17$

$\sin^2 x = \frac{17}{20}$

Отсюда $\sin x = \pm\sqrt{\frac{17}{20}}$.

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{17}{20}}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{17}{20}}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $7 \cos 3x - 3 \cos x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$7(4 \cos^3 x - 3 \cos x) - 3 \cos x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$28 \cos^3 x - 21 \cos x - 3 \cos x = 0$

$28 \cos^3 x - 24 \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $4 \cos x$ за скобки:

$4 \cos x (7 \cos^2 x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $7 \cos^2 x - 6 = 0$

$7 \cos^2 x = 6$

$\cos^2 x = \frac{6}{7}$

Отсюда $\cos x = \pm\sqrt{\frac{6}{7}}$.

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos\left(\sqrt{\frac{6}{7}}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos\left(\sqrt{\frac{6}{7}}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.