gdz.top
Номер 31.13, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 31. Методы решения тригонометрических уравнений - номер 31.13, страница 186.
№31.12
№31.13 (с. 186)
Условие. №31.13 (с. 186)
31.13. $\cos^4 x + \sin^4 x - \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0.$
Решение 1. №31.13 (с. 186)
Решение 2. №31.13 (с. 186)
Решение 3. №31.13 (с. 186)
Для решения данного уравнения, начнем с преобразования выражения $\cos^4 x + \sin^4 x$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, выделим полный квадрат:
$\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2 = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$, откуда следует, что $2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
Подставив это в наше выражение, получаем:
$\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
Теперь заменим эту часть в исходном уравнении:
$(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x) - \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$1 - \sin 2x + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) \sin^2 2x = 0$
$1 - \sin 2x + \frac{1}{4} \sin^2 2x = 0$.
Перепишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения:
$\frac{1}{4} \sin^2 2x - \sin 2x + 1 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{4} t^2 - t + 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 - 4t + 4 = 0$.
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(t - 2)^2 = 0$.
Корень этого уравнения: $t = 2$.
Теперь вернемся к замене:
$\sin 2x = 2$.
Область значений функции $y = \sin(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку значение 2 не входит в этот отрезок, уравнение $\sin 2x = 2$ не имеет действительных решений.
Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 31.13 расположенного на странице 186 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.13 (с. 186), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.