Номер 31.17, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.17. Решите уравнение $2 \sin x - 3 \cos x = 3$ двумя способами:

а) с помощью универсальной подстановки $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$;

б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента $\frac{x}{2}$.

а) с помощью универсальной подстановки $u = \tg\frac{x}{2}$

Для решения уравнения $2\sin x - 3\cos x = 3$ воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Выразим $\sin x$ и $\cos x$ через тангенс половинного угла $u = \tg\frac{x}{2}$:
$\sin x = \frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}} = \frac{2u}{1+u^2}$
$\cos x = \frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}} = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Данная подстановка определена не для всех $x$. Она не работает, когда $\tg\frac{x}{2}$ не существует, то есть при $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, что соответствует $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Необходимо отдельно проверить, являются ли эти значения $x$ решениями исходного уравнения. Подставим $x = \pi + 2\pi k$ в уравнение:
$2\sin(\pi + 2\pi k) - 3\cos(\pi + 2\pi k) = 2\sin(\pi) - 3\cos(\pi) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 3$.
$3 = 3$.
Равенство верное, значит, $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ является одной из серий решений.

Теперь найдем остальные решения, подставив выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $u$ в исходное уравнение:
$2\left(\frac{2u}{1+u^2}\right) - 3\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right) = 3$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$ (это выражение всегда положительно, так как $u^2 \ge 0$):
$2(2u) - 3(1-u^2) = 3(1+u^2)$
$4u - 3 + 3u^2 = 3 + 3u^2$

Сократим $3u^2$ в обеих частях и решим полученное линейное уравнение:
$4u - 3 = 3$
$4u = 6$
$u = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Выполним обратную замену:
$\tg\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$
$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя две найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента $\frac{x}{2}$

Для приведения уравнения к однородному виду используем формулы двойного угла для $\sin x$ и $\cos x$, а также представим число $3$ в правой части с помощью основного тригонометрического тождества:
$\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$
$3 = 3 \cdot 1 = 3\left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение $2\sin x - 3\cos x = 3$:
$2\left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right) - 3\left(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}\right) = 3\left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right)$

Раскроем скобки:
$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} + 3\sin^2\frac{x}{2} = 3\sin^2\frac{x}{2} + 3\cos^2\frac{x}{2}$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} + 3\sin^2\frac{x}{2} - 3\sin^2\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2} = 0$
$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 6\cos^2\frac{x}{2} = 0$

Получили однородное уравнение второй степени. Вынесем общий множитель $2\cos\frac{x}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2} - 3\cos\frac{x}{2}\right) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $2\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin\frac{x}{2} - 3\cos\frac{x}{2} = 0$
Это однородное уравнение первой степени. Заметим, что $\cos\frac{x}{2} \ne 0$ (иначе из уравнения следовало бы, что и $\sin\frac{x}{2}=0$, что невозможно). Поэтому можно разделить обе части на $\cos\frac{x}{2}$:
$2\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} - 3\frac{\cos\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = 0$
$2\tg\frac{x}{2} - 3 = 0$
$\tg\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$
$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{3}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $x = 2\operatorname{arctg}\frac{3}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.