Номер 31.21, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.21. Решите уравнение:

a) $ \sin x \cos x + 6 \cos x + 6 = 6 \sin x $;

б) $ 5 \sin 2x - 11 \cos x = 11 \sin x - 7 $.

а) $ \sin x \cos x + 6 \cos x + 6 = 6 \sin x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin x \cos x + 6 \cos x - 6 \sin x + 6 = 0 $

Сгруппируем члены уравнения так, чтобы выделить общие множители:

$ \sin x \cos x - 6(\sin x - \cos x) + 6 = 0 $

Данный вид уравнения удобно решать с помощью введения замены. Пусть $ t = \sin x - \cos x $. Чтобы выразить $ \sin x \cos x $ через $ t $, возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:

$ t^2 = 1 - 2 \sin x \cos x $

Отсюда выражаем $ \sin x \cos x $:

$ 2 \sin x \cos x = 1 - t^2 \implies \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2} $

Подставим $ t $ и выражение для $ \sin x \cos x $ в исходное уравнение, преобразованное к виду $ \sin x \cos x - 6(\sin x - \cos x) + 6 = 0 $:

$ \frac{1 - t^2}{2} - 6t + 6 = 0 $

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$ 1 - t^2 - 12t + 12 = 0 $

$ -t^2 - 12t + 13 = 0 $

Умножим на -1 для удобства:

$ t^2 + 12t - 13 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -13 $.

Выполним обратную замену:

1) $ \sin x - \cos x = 1 $

Для решения этого уравнения используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) $:

$ \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Применяем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) $:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это дает две серии решений:

• $ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
• $ x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin x - \cos x = -13 $

Область значений выражения $ a \sin x + b \cos x $ есть отрезок $ [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}] $. Для $ \sin x - \cos x $ область значений равна $ [-\sqrt{1^2+(-1)^2}, \sqrt{1^2+(-1)^2}] = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Поскольку $ -13 < -\sqrt{2} $, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

б) $ 5 \sin 2x - 11 \cos x = 11 \sin x - 7 $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ 5(2 \sin x \cos x) - 11 \cos x = 11 \sin x - 7 $

$ 10 \sin x \cos x - 11 \cos x - 11 \sin x + 7 = 0 $

Перенесем слагаемые с синусом и косинусом в правую часть:

$ 10 \sin x \cos x + 7 = 11 \sin x + 11 \cos x $

$ 10 \sin x \cos x + 7 = 11(\sin x + \cos x) $

Этот вид уравнения удобно решать с помощью введения замены. Пусть $ t = \sin x + \cos x $. Чтобы выразить $ \sin x \cos x $ через $ t $, возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x $

Отсюда выражаем $ \sin x \cos x $:

$ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 \implies \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $

Подставим $ t $ и выражение для $ \sin x \cos x $ в уравнение:

$ 10\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) + 7 = 11t $

$ 5(t^2 - 1) + 7 = 11t $

$ 5t^2 - 5 + 7 = 11t $

$ 5t^2 - 11t + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2 $

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 $

$ t_2 = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

Выполним обратную замену:

1) $ \sin x + \cos x = 2 $

Область значений выражения $ \sin x + \cos x $ равна $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $. Поскольку $ 2 > \sqrt{2} $, это уравнение решений не имеет.

2) $ \sin x + \cos x = \frac{1}{5} $

Используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{10} $

Применяем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) $:

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10} $

Решение этого уравнения:

$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Выразим $ x $:

$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $