Номер 31.25, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.25. a) $3 \cos(x + 1) - 4 \sin(x + 1) = 5;$

б) $15 \sin(2x - 3) + 8 \cos(2x - 3) = 8,5.$

а) $3 \cos(x + 1) - 4 \sin(x + 1) = 5$

Данное уравнение представляет собой линейное тригонометрическое уравнение вида $a \cos(y) + b \sin(y) = c$, где $a=3$, $b=-4$, $c=5$ и $y=x+1$. Для его решения применяется метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$\frac{3}{5} \cos(x + 1) - \frac{4}{5} \sin(x + 1) = \frac{5}{5}$

$\frac{3}{5} \cos(x + 1) - \frac{4}{5} \sin(x + 1) = 1$

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos(\varphi) = \frac{3}{5}$ и $\sin(\varphi) = \frac{4}{5}$. Такое число $\varphi$ существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$. В качестве $\varphi$ можно взять $\arccos(\frac{3}{5})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\varphi) \cos(x + 1) - \sin(\varphi) \sin(x + 1) = 1$

Левая часть уравнения соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$.

Применив эту формулу, получаем:

$\cos((x + 1) + \varphi) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, общее решение которого имеет вид:

$(x + 1) + \varphi = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x + 1 = -\varphi + 2\pi k$

$x = -1 - \varphi + 2\pi k$

Подставим значение $\varphi = \arccos(\frac{3}{5})$:

$x = -1 - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -1 - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $15 \sin(2x - 3) + 8 \cos(2x - 3) = 8,5$

Данное уравнение также является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin(y) + b \cos(y) = c$, где $a=15$, $b=8$, $c=8,5$ и $y=2x-3$. Решаем его методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

$\frac{15}{17} \sin(2x - 3) + \frac{8}{17} \cos(2x - 3) = \frac{8,5}{17}$

Так как $8,5 = \frac{17}{2}$, правая часть равна $\frac{17/2}{17} = \frac{1}{2}$. Уравнение принимает вид:

$\frac{15}{17} \sin(2x - 3) + \frac{8}{17} \cos(2x - 3) = \frac{1}{2}$

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos(\varphi) = \frac{15}{17}$ и $\sin(\varphi) = \frac{8}{17}$. Такое число $\varphi$ существует, так как $(\frac{15}{17})^2 + (\frac{8}{17})^2 = \frac{225}{289} + \frac{64}{289} = 1$. В качестве $\varphi$ можно взять $\arccos(\frac{15}{17})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\varphi) \sin(2x - 3) + \sin(\varphi) \cos(2x - 3) = \frac{1}{2}$

Левая часть уравнения соответствует формуле синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

Применив эту формулу, получаем:

$\sin((2x - 3) + \varphi) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается в виде:

$(2x - 3) + \varphi = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$2x - 3 = -\varphi + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

$2x = 3 - \varphi + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{3}{2} - \frac{\varphi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

Подставим значение $\varphi = \arccos(\frac{15}{17})$:

$x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \arccos(\frac{15}{17}) + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \arccos(\frac{15}{17}) + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.