Номер 31.24, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.24. $\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos 13x.$

Для решения этого уравнения преобразуем левую часть с помощью метода введения вспомогательного угла. Это позволит свести сумму синуса и косинуса к одной тригонометрической функции.

1. Преобразование левой части

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ (или умножим левую часть на $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}$):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 5x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 5x = \cos 13x$$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}$. Левую часть можно свернуть по формуле косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cos 5x + \sin \frac{\pi}{4} \sin 5x = \cos 13x$$

$$\cos(13x) = \cos(5x - \frac{\pi}{4})$$

2. Решение уравнения вида $\cos \alpha = \cos \beta$

Уравнение распадается на две серии решений:

Первая серия:

$13x = 5x - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$8x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Вторая серия:

$13x = -(5x - \frac{\pi}{4}) + 2\pi n$

$13x = -5x + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$18x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}; \quad x = \frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$