Номер 31.31, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.31. $\cos 2x - 3 \cos x + 1 = \frac{1}{(\cot 2x - \cot x) \sin (x - \pi)}$

1. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части не был равен нулю, а также чтобы были определены все входящие в него тригонометрические функции.
а) Функция $\text{ctg } x$ определена, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) Функция $\text{ctg } 2x$ определена, если $\sin 2x \neq 0$, то есть $2x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это условие является более строгим и включает в себя предыдущее.
в) Весь знаменатель не должен быть равен нулю: $(\text{ctg } 2x - \text{ctg } x) \sin (x - \pi) \neq 0$.

Упростим выражение в знаменателе.
Сначала преобразуем сомножители:
$\sin(x - \pi) = -\sin(\pi - x) = -\sin x$.
$\text{ctg } 2x - \text{ctg } x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cos 2x - \cos x \sin 2x}{\sin x \sin 2x} = \frac{\sin(x-2x)}{\sin x \sin 2x} = \frac{-\sin x}{\sin x \sin 2x}$.
При условии $x \neq \pi k$ (то есть $\sin x \neq 0$), это выражение можно сократить: $\frac{-1}{\sin 2x}$.

Теперь перемножим упрощенные части знаменателя:
$(\text{ctg } 2x - \text{ctg } x) \sin(x - \pi) = \left(\frac{-1}{\sin 2x}\right) \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\sin 2x}$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{\sin x}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{2\cos x}$.
Это выражение определено и не равно нулю, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Итак, ОДЗ уравнения определяется совокупностью условий: $x \neq \frac{\pi n}{2}$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$. Оба этих условия можно объединить в одно более общее:
$x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решение уравнения

После упрощения правой части исходное уравнение принимает вид:
$\cos 2x - 3\cos x + 1 = \frac{1}{1/(2\cos x)}$
$\cos 2x - 3\cos x + 1 = 2\cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\cos 2x - 5\cos x + 1 = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$(2\cos^2 x - 1) - 5\cos x + 1 = 0$
$2\cos^2 x - 5\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2\cos x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $\cos x = 0$
2) $2\cos x - 5 = 0 \implies \cos x = \frac{5}{2}$

Уравнение $\cos x = \frac{5}{2}$ не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1.
Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Проверка корней на принадлежность ОДЗ

Сравним полученные решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ с областью допустимых значений $x \neq \frac{\pi k}{2}$.
Корни можно представить в виде $x = \frac{(2n+1)\pi}{2}$. Это выражение соответствует форме $\frac{\pi k}{2}$ при нечетных значениях $k$ (если положить $k=2n+1$).
Следовательно, все найденные корни $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ не принадлежат области допустимых значений, так как при этих значениях $x$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль (из-за $\cos x = 0$).

Ответ: решений нет.