Номер 31.32, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.32. $\frac{\cos^2 x (1 + \operatorname{ctg} x)}{\sin x - \cos x} = 3 \cos x$

Решим тригонометрическое уравнение:$$ \frac{\cos^2 x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} = 3 \cos x $$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sin x - \cos x \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq \cos x$. Разделив обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$), получаем $\tan x \neq 1$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ для любого целого $k$. Если же $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и неравенство $\pm 1 \neq 0$ также выполняется.
2. Для существования котангенса $\ctg x$ необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi n$ для любого целого $n$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:$$ \frac{\cos^2 x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} - 3 \cos x = 0 $$$$ \cos x \left( \frac{\cos x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} - 3 \right) = 0 $$Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений.

1) $\cos x = 0$
Решениями этого простейшего уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим, входят ли эти решения в ОДЗ. При $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, мы имеем $\sin x = \pm 1$.

• Условие $\sin x \neq 0$ выполняется.
• Условие $\sin x - \cos x = \pm 1 - 0 = \pm 1 \neq 0$ также выполняется.

Таким образом, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является серией корней исходного уравнения.

2) $\frac{\cos x (1 + \ctg x)}{\sin x - \cos x} - 3 = 0$
Заменим $\ctg x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:$$ \frac{\cos x \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right)}{\sin x - \cos x} = 3 $$Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:$$ \frac{\cos x \left(\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}\right)}{\sin x - \cos x} = 3 $$$$ \frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x (\sin x - \cos x)} = 3 $$Умножим обе части уравнения на знаменатель $\sin x (\sin x - \cos x)$, который не равен нулю в силу ОДЗ:$$ \cos x \sin x + \cos^2 x = 3\sin x (\sin x - \cos x) $$$$ \cos x \sin x + \cos^2 x = 3\sin^2 x - 3\sin x \cos x $$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное тригонометрическое уравнение второй степени:$$ 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 $$Мы уже рассмотрели случай $\cos x = 0$ и убедились, что он не является решением этого конкретного уравнения (иначе $3\sin^2 x = 0$, что привело бы к $\sin x = 0$, а синус и косинус не могут быть нулями одновременно). Поэтому можно смело делить обе части на $\cos^2 x$:$$ 3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$$$ 3\tan^2 x - 4\tan x - 1 = 0 $$Сделаем замену $t = \tan x$:$$ 3t^2 - 4t - 1 = 0 $$Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$$t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$
Оба значения не равны 1, так что они удовлетворяют ОДЗ.
Выполним обратную замену:$$ \tan x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3} $$Отсюда получаем две другие серии решений:$$ x = \arctan\left(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Объединив все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \arctan\left(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.