Номер 31.39, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.39. $\sin x + \cos x = \sqrt{2} + \sin^4 4x$

31.39. Для решения уравнения $\sin x + \cos x = \sqrt{2 + \sin^4 4x}$ воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

Сначала оценим множество значений левой части уравнения. Преобразуем выражение $\sin x + \cos x$ с помощью введения вспомогательного угла:

$\sin x + \cos x = \sqrt{1^2+1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$.

Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то для левой части уравнения имеем оценку:

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений левой части уравнения — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь оценим множество значений правой части уравнения: $\sqrt{2 + \sin^4 4x}$.

Мы знаем, что $-1 \le \sin 4x \le 1$. При возведении в четвертую степень значения будут неотрицательными, поэтому $0 \le \sin^4 4x \le 1$.

Тогда для подкоренного выражения имеем:

$2+0 \le 2 + \sin^4 4x \le 2+1$, то есть $2 \le 2 + \sin^4 4x \le 3$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем оценку для правой части уравнения:

$\sqrt{2} \le \sqrt{2 + \sin^4 4x} \le \sqrt{3}$.

Итак, множество значений правой части — это отрезок $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$.

Равенство левой и правой частей возможно только тогда, когда их значения совпадают. Сравнивая множества значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$, мы видим, что единственное общее значение — это $\sqrt{2}$.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin x + \cos x = \sqrt{2} \\ \sqrt{2 + \sin^4 4x} = \sqrt{2} \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$

$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения, откуда:

$x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни второму уравнению системы. Решим второе уравнение:

$\sqrt{2 + \sin^4 4x} = \sqrt{2}$

$2 + \sin^4 4x = 2$

$\sin^4 4x = 0$

$\sin 4x = 0$

Подставим найденную серию корней $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ в это уравнение:

$\sin\left(4\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)\right) = \sin(\pi + 8\pi k)$.

Поскольку $8\pi k$ — это целое число полных оборотов ($4k$ оборотов), то $\sin(\pi + 8\pi k) = \sin(\pi) = 0$.

Условие выполняется. Таким образом, решения исходного уравнения совпадают с решениями первого уравнения системы.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.