Номер 31.46, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.46. $ \text{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = 2. $

Исходное уравнение:$$ \text{tg} \frac{\pi x}{1 + x^2} + \sin \frac{2\pi x}{1 + x^2} = 2 $$

Введем замену переменной. Пусть $ y = \frac{\pi x}{1 + x^2} $.

Найдем область значений выражения $ f(x) = \frac{x}{1 + x^2} $. Для этого исследуем функцию с помощью производной:$$ f'(x) = \frac{(1)(1 + x^2) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} $$Приравнивая производную к нулю, находим критические точки: $ 1 - x^2 = 0 $, откуда $ x = \pm 1 $.В точке $ x = 1 $ функция достигает своего глобального максимума: $ f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} $.В точке $ x = -1 $ функция достигает своего глобального минимума: $ f(-1) = \frac{-1}{1+(-1)^2} = -\frac{1}{2} $.Таким образом, область значений функции $ f(x) $ есть отрезок $ [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] $.

Следовательно, для переменной $ y $ имеем:$$ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} $$

Исходное уравнение принимает вид:$$ \text{tg } y + \sin(2y) = 2 $$

Для того чтобы $ \text{tg } y $ был определен, необходимо, чтобы $ y \ne \pm \frac{\pi}{2} $. Таким образом, мы ищем решения в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Рассмотрим уравнение $ \text{tg } y + \sin(2y) = 2 $.Поскольку $ y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, то $ 2y \in (-\pi, \pi) $. В этом интервале значение $ \sin(2y) \le 1 $.Из уравнения следует, что $ \text{tg } y = 2 - \sin(2y) $. Так как максимальное значение $ \sin(2y) $ равно 1, то минимальное значение $ \text{tg } y $ должно быть $ 2 - 1 = 1 $.Таким образом, $ \text{tg } y \ge 1 $.

Для $ y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ неравенство $ \text{tg } y \ge 1 $ выполняется при $ y \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Рассмотрим функцию $ g(y) = \text{tg } y + \sin(2y) $ на отрезке $ [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Найдем значение функции в точке $ y = \frac{\pi}{4} $:$$ g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 1 = 2 $$Это означает, что $ y = \frac{\pi}{4} $ является решением уравнения.

Исследуем функцию $ g(y) $ на монотонность на интервале $ (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $. Найдем ее производную:$$ g'(y) = (\text{tg } y + \sin(2y))' = \frac{1}{\cos^2 y} + 2\cos(2y) $$На интервале $ y \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $ имеем $ \frac{\pi}{2} < 2y < \pi $. В этой области $ \cos(2y) $ отрицателен. Однако, чтобы оценить знак производной, преобразуем выражение:$$ g'(y) = \frac{1}{\cos^2 y} + 2(2\cos^2 y - 1) = \frac{1}{\cos^2 y} + 4\cos^2 y - 2 $$Пусть $ u = \cos^2 y $. Так как $ y \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $, то $ 0 < \cos y < \frac{\sqrt{2}}{2} $, и, следовательно, $ 0 < u < \frac{1}{2} $.Рассмотрим функцию $ h(u) = \frac{1}{u} + 4u - 2 $ при $ u \in (0, \frac{1}{2}) $. Ее производная $ h'(u) = -\frac{1}{u^2} + 4 = \frac{4u^2 - 1}{u^2} $.Поскольку $ 0 < u < \frac{1}{2} $, имеем $ 0 < u^2 < \frac{1}{4} $, и $ 4u^2 - 1 < 0 $.Следовательно, $ h'(u) < 0 $ на интервале $ (0, \frac{1}{2}) $, что означает, что функция $ h(u) $ убывает на этом интервале.Значение функции $ h(u) $ в точке $ u=\frac{1}{2} $ равно $ h(\frac{1}{2}) = \frac{1}{1/2} + 4(\frac{1}{2}) - 2 = 2 + 2 - 2 = 2 $.Так как $ h(u) $ убывает, то для всех $ u \in (0, \frac{1}{2}) $ выполняется $ h(u) > 2 $.Это означает, что $ g'(y) > 2 $ для всех $ y \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Поскольку производная $ g'(y) $ положительна, функция $ g(y) $ строго возрастает на интервале $ [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.Так как $ g(\frac{\pi}{4}) = 2 $ и функция возрастает, то при $ y > \frac{\pi}{4} $ будет $ g(y) > 2 $.Следовательно, единственное решение уравнения $ g(y) = 2 $ - это $ y = \frac{\pi}{4} $.

Возвращаемся к исходной переменной $ x $:$$ \frac{\pi x}{1 + x^2} = \frac{\pi}{4} $$Сокращаем на $ \pi $:$$ \frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{4} $$$$ 4x = 1 + x^2 $$$$ x^2 - 4x + 1 = 0 $$

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью формулы для корней:$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} $$$$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$Получаем два корня: $ x_1 = 2 + \sqrt{3} $ и $ x_2 = 2 - \sqrt{3} $.

Ответ: $2 \pm \sqrt{3}$.