Номер 32.3, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.3. Укажите хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения $2x^2 + 4x + a = 0$:

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

б) оба корня рациональные, но не целые числа;

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

г) укажите все значения $a$, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение $2x^2 + 4x + a = 0$.

Корни этого уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$, где $A=2$, $B=4$, $C=a$, а дискриминант $D = B^2 - 4AC$.

Вычислим дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 16 - 8a$.

Тогда корни уравнения равны: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8a}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(4 - 2a)}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{4 - 2a}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2a}}{2}$.

Характер корней зависит от выражения под корнем, то есть от дискриминанта $D = 16 - 8a$.

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

Для того чтобы корни были целыми, выражение $\frac{\sqrt{4 - 2a}}{2}$ должно быть таким, чтобы при сложении с $-1$ и вычитании из $-1$ получались целые числа. Это возможно, если $\sqrt{4 - 2a}$ является целым четным числом. Пусть $\sqrt{4 - 2a} = 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

Тогда корни уравнения примут вид: $x_1 = -1 + k$ и $x_2 = -1 - k$.

Нам нужно, чтобы оба корня были целыми, но не натуральными. Натуральные числа — это положительные целые числа ($1, 2, 3, \ldots$). Значит, корни должны быть меньше или равны нулю ($\le 0$).

Рассмотрим корень $x_1 = -1 + k$. Условие $x_1 \le 0$ дает нам $-1 + k \le 0$, то есть $k \le 1$.

Рассмотрим корень $x_2 = -1 - k$. Поскольку $k \ge 0$, то $-1 - k$ всегда будет $\le -1$, так что условие $x_2 \le 0$ выполняется автоматически.

Таким образом, нам подходят целые неотрицательные значения $k$, удовлетворяющие условию $k \le 1$. Это $k=0$ и $k=1$.

Если $k=0$, то $\sqrt{4 - 2a} = 0 \Rightarrow 4 - 2a = 0 \Rightarrow a = 2$. Корни в этом случае: $x_1 = -1+0 = -1$, $x_2 = -1-0 = -1$. Оба корня целые и не натуральные.

Если $k=1$, то $\sqrt{4 - 2a} = 2 \Rightarrow 4 - 2a = 4 \Rightarrow -2a = 0 \Rightarrow a = 0$. Корни в этом случае: $x_1 = -1+1 = 0$, $x_2 = -1-1 = -2$. Оба корня целые и не натуральные.

В задании просят указать хотя бы одно значение параметра $a$. Выберем, например, $a=0$.

Ответ: $a=0$.

б) оба корня рациональные, но не целые числа;

Корни уравнения $x_{1,2} = -1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2a}}{2}$ будут рациональными, если подкоренное выражение $4 - 2a$ является квадратом рационального числа. Пусть $4 - 2a = q^2$, где $q$ — рациональное число. Тогда корни $x_{1,2} = -1 \pm \frac{q}{2}$ также будут рациональными.

Чтобы корни были не целыми, необходимо, чтобы $\frac{q}{2}$ не было целым числом. Это означает, что $q$ не должно быть четным целым числом.

Мы также знаем из пункта а), что если $q$ — четное целое число ($q=2k$), то корни будут целыми. Следовательно, для получения нецелых рациональных корней нужно, чтобы $4-2a$ было квадратом рационального числа, которое не является четным целым.

Выберем простое значение для $q$, например, пусть $q=1$.

Тогда $4 - 2a = 1^2 = 1$. Отсюда $2a = 3$, то есть $a = \frac{3}{2}$.

Проверим. При $a = 3/2$ уравнение имеет вид $2x^2 + 4x + \frac{3}{2} = 0$. Умножив на 2, получим $4x^2 + 8x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$. Корни $x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{-8 \pm 4}{8}$.

$x_1 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$. Оба корня рациональные, но не целые.

Ответ: $a=\frac{3}{2}$.

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

Корни уравнения будут действительными, если дискриминант $D = 16 - 8a \ge 0$, то есть $a \le 2$.

Корни будут иррациональными (действительными, но не рациональными), если дискриминант $D = 16 - 8a$ является положительным числом, но не является полным квадратом рационального числа (а так как коэффициенты целые, то не является квадратом целого числа).

Итак, нам нужно выбрать такое значение $a \le 2$, чтобы $16 - 8a > 0$ и