Номер 32.2, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.2. Приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;

б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней;

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;

г) не имеют действительных корней.

а) имеет целые корни, но не имеет натуральных корней;
Чтобы квадратное уравнение имело целые, но не натуральные корни, его корни должны быть целыми отрицательными числами или нулём. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).
Выберем два таких корня, например, $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$. Оба корня являются целыми, но не натуральными.
Составим уравнение по его корням, используя теорему Виета или формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
Подставив наши корни, получим:
$(x - (-2))(x - (-3)) = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
Раскроем скобки:
$x^2 + 3x + 2x + 6 = 0$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
Коэффициенты этого уравнения $a=1, b=5, c=6$ являются действительными числами. Корни уравнения, $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$, — целые, но не натуральные. Таким образом, данное уравнение удовлетворяет условию.
Ответ: $x^2 + 5x + 6 = 0$.

б) имеет рациональные корни, но не имеет целых корней;
Чтобы уравнение имело рациональные, но не целые корни, его корни должны быть дробными числами (несократимыми дробями, знаменатель которых не равен 1).
Выберем два таких корня, например, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{3}$. Оба корня являются рациональными, но не целыми.
Составим уравнение по его корням: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
$(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3}) = 0$
Раскроем скобки:
$x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6} = 0$
$x^2 - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})x + \frac{1}{6} = 0$
$x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0$
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами (которые также являются действительными), умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 6:
$6(x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6}) = 6 \cdot 0$
$6x^2 - 5x + 1 = 0$
Коэффициенты $a=6, b=-5, c=1$ — действительные. Проверим корни по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{12} = \frac{5 \pm 1}{12}$. Корни $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Они рациональные, но не целые.
Ответ: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

в) имеет действительные корни, но не имеет рациональных корней;
Чтобы уравнение имело действительные, но не рациональные корни, его корни должны быть иррациональными числами.
Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с рациональными коэффициентами это условие выполняется, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ положителен ($D > 0$), но не является полным квадратом рационального числа.
Рассмотрим простое уравнение, например, $x^2 - 3 = 0$.
Здесь коэффициенты $a=1, b=0, c=-3$. Они действительные.
Найдем дискриминант: $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 12$.
Так как $D = 12 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Число $12$ не является полным квадратом, поэтому корни будут иррациональными.
Найдем корни: $x^2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$.
Корни $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ являются действительными иррациональными числами.
Ответ: $x^2 - 3 = 0$.

г) не имеет действительных корней.
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).
Выберем коэффициенты так, чтобы это условие выполнялось. Например, возьмем $a=1, b=1, c=1$.
Получим уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.
Коэффициенты $a=1, b=1, c=1$ являются действительными.
Вычислим дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D = -3 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными числами.
Ответ: $x^2 + x + 1 = 0$.