Номер 32.6, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.6. a) $(-i)^3$;

Б) $(-2i)^5$;

В) $-i^{22} - (-i)^{22}$;

Г) $i^3 + i^5 + i^7 + ... + i^{2005}$.

а) Для вычисления $(-i)^3$ воспользуемся свойством степени $(ab)^n = a^n b^n$ и определениями степеней мнимой единицы $i$.

$(-i)^3 = (-1)^3 \cdot i^3$

Мы знаем, что $(-1)^3 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.

Подставляем эти значения обратно в выражение:

$(-1) \cdot (-i) = i$

Ответ: $i$

б) Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки для $(-2i)^5$.

$(-2i)^5 = (-2)^5 \cdot i^5$

Вычисляем каждый множитель отдельно. $(-2)^5 = -32$.

Для вычисления $i^5$ воспользуемся цикличностью степеней мнимой единицы. Период цикла равен 4 ($i^4 = 1$).

$5 = 4 \cdot 1 + 1$

Следовательно, $i^5 = i^{4 \cdot 1 + 1} = (i^4)^1 \cdot i^1 = 1 \cdot i = i$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$-32 \cdot i = -32i$

Ответ: $-32i$

в) Рассмотрим выражение $-i^{22} - (-i)^{22}$.

Сначала упростим второе слагаемое. Так как показатель степени 22 — четное число, то $(-i)^{22} = i^{22}$.

Тогда выражение принимает вид:

$-i^{22} - i^{22} = -2 \cdot i^{22}$

Теперь вычислим $i^{22}$. Найдем остаток от деления 22 на 4.

$22 = 4 \cdot 5 + 2$

Следовательно, $i^{22} = i^2 = -1$.

Подставим это значение в наше выражение:

$-2 \cdot (-1) = 2$

Ответ: $2$

г) Требуется найти сумму $S = i^3 + i^5 + i^7 + ... + i^{2005}$.

Данная сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Найдем ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = i^3$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{i^5}{i^3} = i^2 = -1$.

Чтобы найти количество членов прогрессии $n$, рассмотрим последовательность показателей степеней: 3, 5, 7, ..., 2005. Это арифметическая прогрессия с первым членом $p_1 = 3$ и разностью $d = 2$.

Найдем номер последнего члена $p_n = 2005$ по формуле $p_n = p_1 + (n-1)d$.

$2005 = 3 + (n-1)2$

$2002 = (n-1)2$

$1001 = n-1$

$n = 1002$

Итак, в сумме 1002 слагаемых. Это четное число. Можно заметить, что члены прогрессии чередуются: $i^3 = -i$, $i^5 = i$, $i^7 = -i$, $i^9 = i$ и так далее. Сумма каждой пары последовательных членов равна 0:

$i^3 + i^5 = -i + i = 0$

$i^7 + i^9 = -i + i = 0$

Так как общее число членов $n=1002$ четное, мы можем разбить всю сумму на $1002 / 2 = 501$ пару, сумма каждой из которых равна 0.

$S = (i^3 + i^5) + (i^7 + i^9) + ... + (i^{2003} + i^{2005}) = 0 + 0 + ... + 0 = 0$

Другой способ — использовать формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.

$S_{1002} = i^3 \frac{1 - (-1)^{1002}}{1 - (-1)} = -i \frac{1 - 1}{2} = -i \frac{0}{2} = 0$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $0$