Номер 32.12, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.12. Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным $3 - 2i$, и разностью, равной $-1 + i$.

а) Составьте формулу $n$-го члена прогрессии;

б) найдите значение $15$-го члена прогрессии;

в) найдите сумму первых $20$ членов этой прогрессии;

г) найдите сумму членов прогрессии с $10$-го до $40$-го.

Дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3 - 2i$ и разностью $d = -1 + i$.

а) Составьте формулу n-го члена прогрессии;

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее заданные значения первого члена $a_1$ и разности $d$:
$a_n = (3 - 2i) + (n - 1)(-1 + i)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, сгруппировав действительные и мнимые части:
$a_n = 3 - 2i - n + ni + 1 - i$
$a_n = (3 + 1 - n) + (-2 + n - 1)i$
$a_n = (4 - n) + (n - 3)i$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $a_n = (4 - n) + (n - 3)i$.

б) найдите значение 15-го члена прогрессии;

Чтобы найти 15-й член прогрессии ($a_{15}$), подставим $n=15$ в формулу $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{15} = a_1 + (15 - 1)d = a_1 + 14d$
Подставим значения $a_1 = 3 - 2i$ и $d = -1 + i$:
$a_{15} = (3 - 2i) + 14(-1 + i)$
$a_{15} = 3 - 2i - 14 + 14i$
$a_{15} = (3 - 14) + (-2 + 14)i$
$a_{15} = -11 + 12i$
Ответ: $-11 + 12i$.

в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии;

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.
Для нахождения суммы первых 20 членов ($S_{20}$) подставим $n=20$:
$S_{20} = \frac{20}{2}(2a_1 + (20 - 1)d) = 10(2a_1 + 19d)$
Подставим значения $a_1$ и $d$:
$S_{20} = 10(2(3 - 2i) + 19(-1 + i))$
$S_{20} = 10(6 - 4i - 19 + 19i)$
$S_{20} = 10((6 - 19) + (-4 + 19)i)$
$S_{20} = 10(-13 + 15i)$
$S_{20} = -130 + 150i$
Ответ: $-130 + 150i$.

г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.

Чтобы найти сумму членов с 10-го по 40-й включительно, мы можем рассмотреть это как отдельную арифметическую прогрессию. Количество членов в этой последовательности равно $40 - 10 + 1 = 31$.
Сумму можно найти по формуле $S = \frac{k}{2}(a_{start} + a_{end})$, где $k=31$, $a_{start}=a_{10}$, $a_{end}=a_{40}$.
Сначала найдем 10-й и 40-й члены прогрессии.
$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = (3 - 2i) + 9(-1 + i) = 3 - 2i - 9 + 9i = -6 + 7i$
$a_{40} = a_1 + (40 - 1)d = (3 - 2i) + 39(-1 + i) = 3 - 2i - 39 + 39i = -36 + 37i$
Теперь вычислим сумму:
$S = \frac{31}{2}(a_{10} + a_{40}) = \frac{31}{2}((-6 + 7i) + (-36 + 37i))$
$S = \frac{31}{2}((-6 - 36) + (7 + 37)i)$
$S = \frac{31}{2}(-42 + 44i)$
$S = 31 \cdot (\frac{-42}{2} + \frac{44}{2}i)$
$S = 31(-21 + 22i)$
$S = -651 + 682i$
Ответ: $-651 + 682i$.