Номер 32.15, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.15. Вычислите $az_1 + bz_2$, если:

а) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = 2$, $b = -1$;

б) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -1 + 2i$, $a = -4$, $b = -5$;

в) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = -2$, $b = 3$;

г) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -2 + 3i$, $a = 12$, $b = -11$.

Для вычисления выражения $az_1 + bz_2$ необходимо подставить данные значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ и действительных чисел $a$ и $b$ в формулу и выполнить арифметические операции. Операции над комплексными числами выполняются покомпонентно: действительные части складываются (или вычитаются) с действительными, а мнимые — с мнимыми.

а) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = 2$, $b = -1$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$2(1 + i) + (-1)(1 - i)$

Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое в скобках на соответствующий коэффициент:

$(2 \cdot 1 + 2 \cdot i) + (-1 \cdot 1 - 1 \cdot (-i)) = (2 + 2i) + (-1 + i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(2 - 1) + (2i + i) = 1 + 3i$

Ответ: $1 + 3i$

б) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -1 + 2i$, $a = -4$, $b = -5$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$(-4)(1 + i) + (-5)(-1 + 2i)$

Раскроем скобки:

$(-4 \cdot 1 - 4 \cdot i) + (-5 \cdot (-1) - 5 \cdot 2i) = (-4 - 4i) + (5 - 10i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(-4 + 5) + (-4i - 10i) = 1 - 14i$

Ответ: $1 - 14i$

в) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = -2$, $b = 3$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$(-2)(1 + i) + 3(1 - i)$

Раскроем скобки:

$(-2 \cdot 1 - 2 \cdot i) + (3 \cdot 1 + 3 \cdot (-i)) = (-2 - 2i) + (3 - 3i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 3) + (-2i - 3i) = 1 - 5i$

Ответ: $1 - 5i$

г) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -2 + 3i$, $a = 12$, $b = -11$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$12(1 + i) + (-11)(-2 + 3i)$

Раскроем скобки:

$(12 \cdot 1 + 12 \cdot i) + (-11 \cdot (-2) - 11 \cdot 3i) = (12 + 12i) + (22 - 33i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(12 + 22) + (12i - 33i) = 34 - 21i$

Ответ: $34 - 21i$