Номер 32.16, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.16. Известно, что число $az_1 + z_2$, $a \in \mathbf{R}$, является чисто мнимым. Найдите $a$, если:

а) $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 6 - i$;

б) $z_1 = 12 - 13i$, $z_2 = 3i$;

в) $z_1 = 8 + 3i$, $z_2 = -1 - 2i$;

г) $z_1 = i$, $z_2 = -1 + 2i$.

Пусть дано комплексное число $Z = az_1 + z_2$, где $a$ — действительное число ($a \in \mathbb{R}$), а $z_1$ и $z_2$ — комплексные числа. Комплексное число называется чисто мнимым, если его действительная часть равна нулю.

Представим $z_1$ и $z_2$ в алгебраической форме: $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$. Тогда выражение $az_1 + z_2$ можно записать как: $a(x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = ax_1 + aiy_1 + x_2 + iy_2$ Сгруппируем действительные и мнимые части: $(ax_1 + x_2) + i(ay_1 + y_2)$

Для того чтобы это число было чисто мнимым, его действительная часть $\text{Re}(Z)$ должна быть равна нулю: $\text{Re}(Z) = ax_1 + x_2 = 0$ Это уравнение мы будем использовать для нахождения $a$ в каждом из подпунктов.

а) $z_1 = 3 + i, z_2 = 6 - i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 3$ $\text{Re}(z_2) = 6$ Подставляем эти значения в уравнение $a \cdot \text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2) = 0$: $a \cdot 3 + 6 = 0$ $3a = -6$ $a = \frac{-6}{3} = -2$

Ответ: $a = -2$.

б) $z_1 = 12 - 13i, z_2 = 3i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 12$ $\text{Re}(z_2) = 0$ (так как $z_2 = 0 + 3i$) Подставляем эти значения в уравнение: $a \cdot 12 + 0 = 0$ $12a = 0$ $a = 0$

Ответ: $a = 0$.

в) $z_1 = 8 + 3i, z_2 = -1 - 2i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 8$ $\text{Re}(z_2) = -1$ Подставляем эти значения в уравнение: $a \cdot 8 + (-1) = 0$ $8a - 1 = 0$ $8a = 1$ $a = \frac{1}{8}$

Ответ: $a = \frac{1}{8}$.

г) $z_1 = i, z_2 = -1 + 2i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 0$ (так как $z_1 = 0 + i$) $\text{Re}(z_2) = -1$ Подставляем эти значения в уравнение: $a \cdot 0 + (-1) = 0$ $0 - 1 = 0$ $-1 = 0$

Мы получили неверное равенство, которое не зависит от значения $a$. Это означает, что действительная часть выражения $az_1 + z_2$ всегда будет равна $-1$ при любом действительном $a$. $\text{Re}(a \cdot i + (-1+2i)) = \text{Re}(-1 + (a+2)i) = -1 \neq 0$. Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором данное число будет чисто мнимым.

Ответ: решений нет.