Номер 32.13, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.13. Докажите, что:

а) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$, $z_1 \in \mathbb{C}$, $z_2 \in \mathbb{C}$;

б) $(a + b)z = az + bz$, $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $z \in \mathbb{C}$;

в) $(ab)z = a(bz)$, $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $z \in \mathbb{C}$;

г) $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$, $a \in \mathbb{R}$, $z_1 \in \mathbb{C}$, $z_2 \in \mathbb{C}$.

а) Докажем, что $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ для любых $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$.

Пусть комплексные числа $z_1$ и $z_2$ представлены в алгебраической форме: $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$, где $x_1, y_1, x_2, y_2$ — действительные числа ($x_1, y_1, x_2, y_2 \in \mathbb{R}$).

Рассмотрим левую часть равенства:

$z_1 + z_2 = (x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2)$

По определению сложения комплексных чисел, складываем отдельно действительные и мнимые части:

$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

$z_2 + z_1 = (x_2 + iy_2) + (x_1 + iy_1) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$

Сложение действительных чисел коммутативно, то есть $x_1 + x_2 = x_2 + x_1$ и $y_1 + y_2 = y_2 + y_1$.

Следовательно, $(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$, что означает $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

Ответ: Равенство $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ доказано, так как оно следует из коммутативности сложения действительных чисел.

б) Докажем, что $(a + b)z = az + bz$ для любых $a, b \in \mathbb{R}$ и $z \in \mathbb{C}$.

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$(a + b)z = (a + b)(x + iy)$

По определению умножения комплексного числа на действительное, умножаем действительную и мнимую части на скаляр:

$(a + b)z = (a + b)x + i(a + b)y$

Используя дистрибутивность умножения относительно сложения для действительных чисел, получаем:

$(a + b)z = (ax + bx) + i(ay + by)$

Рассмотрим правую часть равенства:

$az + bz = a(x + iy) + b(x + iy) = (ax + iay) + (bx + iby)$

Складывая комплексные числа, получаем:

$az + bz = (ax + bx) + i(ay + by)$

Левая и правая части равны. Таким образом, $(a + b)z = az + bz$.

Ответ: Равенство $(a + b)z = az + bz$ доказано, так как оно следует из дистрибутивности умножения относительно сложения для действительных чисел.

в) Докажем, что $(ab)z = a(bz)$ для любых $a, b \in \mathbb{R}$ и $z \in \mathbb{C}$.

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$(ab)z = (ab)(x + iy) = (ab)x + i(ab)y$

Рассмотрим правую часть равенства:

$a(bz) = a(b(x + iy)) = a(bx + iby) = a(bx) + i(a(by))$

Умножение действительных чисел ассоциативно, то есть $(ab)x = a(bx)$ и $(ab)y = a(by)$.

Следовательно, $(ab)x + i(ab)y = a(bx) + i(a(by))$, что означает $(ab)z = a(bz)$.

Ответ: Равенство $(ab)z = a(bz)$ доказано, так как оно следует из ассоциативности умножения действительных чисел.

г) Докажем, что $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$ для любых $a \in \mathbb{R}$ и $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$.

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$, где $x_1, y_1, x_2, y_2 \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$a(z_1 + z_2) = a((x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2)) = a((x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2))$

Выполним умножение на скаляр $a$:

$a(z_1 + z_2) = a(x_1 + x_2) + i a(y_1 + y_2)$

Используя дистрибутивность для действительных чисел:

$a(z_1 + z_2) = (ax_1 + ax_2) + i(ay_1 + ay_2)$

Рассмотрим правую часть равенства:

$az_1 + az_2 = a(x_1 + iy_1) + a(x_2 + iy_2) = (ax_1 + iay_1) + (ax_2 + iay_2)$

Складывая комплексные числа, получаем:

$az_1 + az_2 = (ax_1 + ax_2) + i(ay_1 + ay_2)$

Левая и правая части равны. Таким образом, $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$.

Ответ: Равенство $a(z_1 + z_2) = az_1 + az_2$ доказано, так как оно следует из дистрибутивности умножения относительно сложения для действительных чисел.