Номер 32.14, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.14. Известно, что сумма действительной и мнимой частей комплексного числа $az, a \in \mathbb{R}$, равна 1. Найдите $a$, если:

a) $z = 1 + i;$

б) $z = 7 + 3i;$

в) $z = 13 - 23i;$

г) $z = 1 - i.$

По условию, сумма действительной и мнимой частей комплексного числа $az$ равна 1, где $a \in \mathbb{R}$.

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = \text{Re}(z)$ — его действительная часть, а $y = \text{Im}(z)$ — его мнимая часть.

Найдем произведение $az$:

$az = a(x + yi) = ax + (ay)i$

Действительная часть этого произведения — $\text{Re}(az) = ax$, а мнимая часть — $\text{Im}(az) = ay$.

Условие задачи можно записать в виде уравнения:

$\text{Re}(az) + \text{Im}(az) = 1$

$ax + ay = 1$

$a(x + y) = 1$

Это основное уравнение, которое мы будем использовать для нахождения $a$ в каждом из случаев.

Для комплексного числа $z = 1 + i$ имеем: действительная часть $x = 1$ и мнимая часть $y = 1$.Подставим эти значения в выведенное уравнение:

$a(1 + 1) = 1$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

Для комплексного числа $z = 7 + 3i$ имеем: действительная часть $x = 7$ и мнимая часть $y = 3$.Подставим эти значения в уравнение:

$a(7 + 3) = 1$

$10a = 1$

$a = \frac{1}{10}$

Ответ: $a = \frac{1}{10}$.

Для комплексного числа $z = 13 - 23i$ имеем: действительная часть $x = 13$ и мнимая часть $y = -23$.Подставим эти значения в уравнение:

$a(13 + (-23)) = 1$

$a(13 - 23) = 1$

$-10a = 1$

$a = -\frac{1}{10}$

Ответ: $a = -\frac{1}{10}$.

Для комплексного числа $z = 1 - i$ имеем: действительная часть $x = 1$ и мнимая часть $y = -1$.Подставим эти значения в уравнение:

$a(1 + (-1)) = 1$

$a(1 - 1) = 1$

$a \cdot 0 = 1$

$0 = 1$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения $a$. Это означает, что не существует такого действительного числа $a$, при котором условие задачи выполнялось бы.

Ответ: такого значения $a$ не существует.