Страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.14. Известно, что сумма действительной и мнимой частей комплексного числа $az, a \in \mathbb{R}$, равна 1. Найдите $a$, если:

a) $z = 1 + i;$

б) $z = 7 + 3i;$

в) $z = 13 - 23i;$

г) $z = 1 - i.$

По условию, сумма действительной и мнимой частей комплексного числа $az$ равна 1, где $a \in \mathbb{R}$.

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = \text{Re}(z)$ — его действительная часть, а $y = \text{Im}(z)$ — его мнимая часть.

Найдем произведение $az$:

$az = a(x + yi) = ax + (ay)i$

Действительная часть этого произведения — $\text{Re}(az) = ax$, а мнимая часть — $\text{Im}(az) = ay$.

Условие задачи можно записать в виде уравнения:

$\text{Re}(az) + \text{Im}(az) = 1$

$ax + ay = 1$

$a(x + y) = 1$

Это основное уравнение, которое мы будем использовать для нахождения $a$ в каждом из случаев.

Для комплексного числа $z = 1 + i$ имеем: действительная часть $x = 1$ и мнимая часть $y = 1$.Подставим эти значения в выведенное уравнение:

$a(1 + 1) = 1$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

Для комплексного числа $z = 7 + 3i$ имеем: действительная часть $x = 7$ и мнимая часть $y = 3$.Подставим эти значения в уравнение:

$a(7 + 3) = 1$

$10a = 1$

$a = \frac{1}{10}$

Ответ: $a = \frac{1}{10}$.

Для комплексного числа $z = 13 - 23i$ имеем: действительная часть $x = 13$ и мнимая часть $y = -23$.Подставим эти значения в уравнение:

$a(13 + (-23)) = 1$

$a(13 - 23) = 1$

$-10a = 1$

$a = -\frac{1}{10}$

Ответ: $a = -\frac{1}{10}$.

Для комплексного числа $z = 1 - i$ имеем: действительная часть $x = 1$ и мнимая часть $y = -1$.Подставим эти значения в уравнение:

$a(1 + (-1)) = 1$

$a(1 - 1) = 1$

$a \cdot 0 = 1$

$0 = 1$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения $a$. Это означает, что не существует такого действительного числа $a$, при котором условие задачи выполнялось бы.

Ответ: такого значения $a$ не существует.

32.15. Вычислите $az_1 + bz_2$, если:

а) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = 2$, $b = -1$;

б) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -1 + 2i$, $a = -4$, $b = -5$;

в) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = -2$, $b = 3$;

г) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -2 + 3i$, $a = 12$, $b = -11$.

Для вычисления выражения $az_1 + bz_2$ необходимо подставить данные значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ и действительных чисел $a$ и $b$ в формулу и выполнить арифметические операции. Операции над комплексными числами выполняются покомпонентно: действительные части складываются (или вычитаются) с действительными, а мнимые — с мнимыми.

а) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = 2$, $b = -1$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$2(1 + i) + (-1)(1 - i)$

Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое в скобках на соответствующий коэффициент:

$(2 \cdot 1 + 2 \cdot i) + (-1 \cdot 1 - 1 \cdot (-i)) = (2 + 2i) + (-1 + i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(2 - 1) + (2i + i) = 1 + 3i$

Ответ: $1 + 3i$

б) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -1 + 2i$, $a = -4$, $b = -5$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$(-4)(1 + i) + (-5)(-1 + 2i)$

Раскроем скобки:

$(-4 \cdot 1 - 4 \cdot i) + (-5 \cdot (-1) - 5 \cdot 2i) = (-4 - 4i) + (5 - 10i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(-4 + 5) + (-4i - 10i) = 1 - 14i$

Ответ: $1 - 14i$

в) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$, $a = -2$, $b = 3$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$(-2)(1 + i) + 3(1 - i)$

Раскроем скобки:

$(-2 \cdot 1 - 2 \cdot i) + (3 \cdot 1 + 3 \cdot (-i)) = (-2 - 2i) + (3 - 3i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 3) + (-2i - 3i) = 1 - 5i$

Ответ: $1 - 5i$

г) Дано: $z_1 = 1 + i$, $z_2 = -2 + 3i$, $a = 12$, $b = -11$.

Подставим значения в выражение $az_1 + bz_2$:

$12(1 + i) + (-11)(-2 + 3i)$

Раскроем скобки:

$(12 \cdot 1 + 12 \cdot i) + (-11 \cdot (-2) - 11 \cdot 3i) = (12 + 12i) + (22 - 33i)$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(12 + 22) + (12i - 33i) = 34 - 21i$

Ответ: $34 - 21i$

32.16. Известно, что число $az_1 + z_2$, $a \in \mathbf{R}$, является чисто мнимым. Найдите $a$, если:

а) $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 6 - i$;

б) $z_1 = 12 - 13i$, $z_2 = 3i$;

в) $z_1 = 8 + 3i$, $z_2 = -1 - 2i$;

г) $z_1 = i$, $z_2 = -1 + 2i$.

Пусть дано комплексное число $Z = az_1 + z_2$, где $a$ — действительное число ($a \in \mathbb{R}$), а $z_1$ и $z_2$ — комплексные числа. Комплексное число называется чисто мнимым, если его действительная часть равна нулю.

Представим $z_1$ и $z_2$ в алгебраической форме: $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$. Тогда выражение $az_1 + z_2$ можно записать как: $a(x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = ax_1 + aiy_1 + x_2 + iy_2$ Сгруппируем действительные и мнимые части: $(ax_1 + x_2) + i(ay_1 + y_2)$

Для того чтобы это число было чисто мнимым, его действительная часть $\text{Re}(Z)$ должна быть равна нулю: $\text{Re}(Z) = ax_1 + x_2 = 0$ Это уравнение мы будем использовать для нахождения $a$ в каждом из подпунктов.

а) $z_1 = 3 + i, z_2 = 6 - i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 3$ $\text{Re}(z_2) = 6$ Подставляем эти значения в уравнение $a \cdot \text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2) = 0$: $a \cdot 3 + 6 = 0$ $3a = -6$ $a = \frac{-6}{3} = -2$

Ответ: $a = -2$.

б) $z_1 = 12 - 13i, z_2 = 3i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 12$ $\text{Re}(z_2) = 0$ (так как $z_2 = 0 + 3i$) Подставляем эти значения в уравнение: $a \cdot 12 + 0 = 0$ $12a = 0$ $a = 0$

Ответ: $a = 0$.

в) $z_1 = 8 + 3i, z_2 = -1 - 2i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 8$ $\text{Re}(z_2) = -1$ Подставляем эти значения в уравнение: $a \cdot 8 + (-1) = 0$ $8a - 1 = 0$ $8a = 1$ $a = \frac{1}{8}$

Ответ: $a = \frac{1}{8}$.

г) $z_1 = i, z_2 = -1 + 2i$

Находим действительные части чисел $z_1$ и $z_2$: $\text{Re}(z_1) = 0$ (так как $z_1 = 0 + i$) $\text{Re}(z_2) = -1$ Подставляем эти значения в уравнение: $a \cdot 0 + (-1) = 0$ $0 - 1 = 0$ $-1 = 0$

Мы получили неверное равенство, которое не зависит от значения $a$. Это означает, что действительная часть выражения $az_1 + z_2$ всегда будет равна $-1$ при любом действительном $a$. $\text{Re}(a \cdot i + (-1+2i)) = \text{Re}(-1 + (a+2)i) = -1 \neq 0$. Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором данное число будет чисто мнимым.

Ответ: решений нет.

32.17. Известно, что число $z_1 + az_2, a \in \mathbf{R}$, является действительным. Найдите $a$, если:

а) $z_1 = 3 + i, z_2 = 6 - i;$

б) $z_1 = 12 - 13i, z_2 = (3 + i)^2;$

в) $z_1 = 8 + 3i, z_2 = -1 - 2i;$

г) $z_1 = i, z_2 = (2 - 3i)^2.$

По условию задачи, число $Z = z_1 + az_2$, где $a \in \mathbb{R}$, является действительным. Комплексное число является действительным, если его мнимая часть равна нулю. Следовательно, для нахождения $a$ в каждом случае необходимо составить выражение для $z_1 + az_2$, выделить его мнимую часть и приравнять её к нулю.

а) $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 6 - i$

Составим выражение $z_1 + az_2$:
$Z = (3 + i) + a(6 - i)$

Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = 3 + i + 6a - ai = (3 + 6a) + (1 - a)i$

Мнимая часть этого выражения равна $\text{Im}(Z) = 1 - a$. Приравниваем ее к нулю:
$1 - a = 0$

Отсюда находим $a$:
$a = 1$

Ответ: $a = 1$.

б) $z_1 = 12 - 13i$, $z_2 = (3 + i)^2$

Сначала упростим выражение для $z_2$:
$z_2 = (3 + i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$

Теперь подставим $z_1$ и вычисленное значение $z_2$ в выражение $z_1 + az_2$:
$Z = (12 - 13i) + a(8 + 6i) = 12 - 13i + 8a + 6ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = (12 + 8a) + (-13 + 6a)i$

Приравниваем мнимую часть к нулю:
$-13 + 6a = 0$

Решаем уравнение относительно $a$:
$6a = 13$
$a = \frac{13}{6}$

Ответ: $a = \frac{13}{6}$.

в) $z_1 = 8 + 3i$, $z_2 = -1 - 2i$

Составим выражение $z_1 + az_2$:
$Z = (8 + 3i) + a(-1 - 2i) = 8 + 3i - a - 2ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = (8 - a) + (3 - 2a)i$

Приравниваем мнимую часть к нулю:
$3 - 2a = 0$

Решаем уравнение относительно $a$:
$2a = 3$
$a = \frac{3}{2}$

Ответ: $a = \frac{3}{2}$.

г) $z_1 = i$, $z_2 = (2 - 3i)^2$

Сначала упростим выражение для $z_2$:
$z_2 = (2 - 3i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot (3i) + (3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i$

Теперь подставим $z_1$ и вычисленное значение $z_2$ в выражение $z_1 + az_2$:
$Z = i + a(-5 - 12i) = i - 5a - 12ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:
$Z = -5a + (1 - 12a)i$

Приравниваем мнимую часть к нулю:
$1 - 12a = 0$

Решаем уравнение относительно $a$:
$12a = 1$
$a = \frac{1}{12}$

Ответ: $a = \frac{1}{12}$.

32.18. Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно

равенство $z = az_1 + bz_2$, если:

а) $z_1 = 1, z_2 = 1 + i, z = 5 + 2i;$

б) $z_1 = -2 + i, z_2 = 3 - i, z = i;$

в) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i, z = 3 + 5i;$

г) $z_1 = 4 - i, z_2 = -7 + 2i, z = 1.$

а) Подставим данные значения $z_1 = 1$, $z_2 = 1 + i$ и $z = 5 + 2i$ в равенство $z = az_1 + bz_2$, где $a$ и $b$ — действительные числа:
$5 + 2i = a(1) + b(1 + i)$
Раскроем скобки в правой части:
$5 + 2i = a + b + bi$
Сгруппируем действительные и мнимые части в правой части уравнения:
$5 + 2i = (a + b) + bi$
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} a + b = 5 \\ b = 2 \end{cases}$
Из второго уравнения системы сразу получаем значение $b = 2$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти $a$:
$a + 2 = 5$
$a = 5 - 2 = 3$
Ответ: $a=3, b=2$.

б) Подставим $z_1 = -2 + i$, $z_2 = 3 - i$ и $z = i$ в равенство $z = az_1 + bz_2$:
$i = a(-2 + i) + b(3 - i)$
Представим $z$ в виде $0 + 1i$ и раскроем скобки в правой части:
$0 + 1i = -2a + ai + 3b - bi$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$0 + 1i = (-2a + 3b) + (a - b)i$
Приравняем действительные и мнимые части и составим систему уравнений:
$\begin{cases} -2a + 3b = 0 \\ a - b = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$-2(1 + b) + 3b = 0$
$-2 - 2b + 3b = 0$
$b - 2 = 0 \implies b = 2$
Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение для $a$:
$a = 1 + 2 = 3$
Ответ: $a=3, b=2$.

в) Подставим $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$ и $z = 3 + 5i$ в равенство $z = az_1 + bz_2$:
$3 + 5i = a(1 + i) + b(1 - i)$
Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части:
$3 + 5i = a + ai + b - bi = (a + b) + (a - b)i$
Приравняем действительные и мнимые части, чтобы получить систему уравнений:
$\begin{cases} a + b = 3 \\ a - b = 5 \end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(a + b) + (a - b) = 3 + 5$
$2a = 8 \implies a = 4$
Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение системы:
$4 + b = 3 \implies b = 3 - 4 = -1$
Ответ: $a=4, b=-1$.

г) Подставим $z_1 = 4 - i$, $z_2 = -7 + 2i$ и $z = 1$ в равенство $z = az_1 + bz_2$:
$1 = a(4 - i) + b(-7 + 2i)$
Представим $z$ в виде $1 + 0i$ и раскроем скобки:
$1 + 0i = 4a - ai - 7b + 2bi$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$1 + 0i = (4a - 7b) + (-a + 2b)i$
Составим систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части:
$\begin{cases} 4a - 7b = 1 \\ -a + 2b = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 2b$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$4(2b) - 7b = 1$
$8b - 7b = 1$
$b = 1$
Теперь найдем $a$:
$a = 2b = 2 \cdot 1 = 2$
Ответ: $a=2, b=1$.

Вычислите:

32.19. a) $i(1 + i)$;

б) $i(-3 + 2i)$;

в) $(4 - 3i)i$;

г) $i(4 - 3i)i(4 + 3i)$.

а) Чтобы вычислить произведение $i(1 + i)$, применим распределительный закон умножения и основное свойство мнимой единицы $i^2 = -1$.
$i(1 + i) = i \cdot 1 + i \cdot i = i + i^2$
Теперь заменим $i^2$ на $-1$:
$i + (-1) = -1 + i$
Ответ: $-1 + i$

б) Вычислим произведение $i(-3 + 2i)$, раскрыв скобки:
$i(-3 + 2i) = i \cdot (-3) + i \cdot (2i) = -3i + 2i^2$
Зная, что $i^2 = -1$, подставим это значение в выражение:
$-3i + 2(-1) = -3i - 2$
Запишем в стандартном виде (сначала действительная часть, потом мнимая):
$-2 - 3i$
Ответ: $-2 - 3i$

в) Вычислим произведение $(4 - 3i)i$. Для этого умножим мнимую единицу $i$ на каждый член в скобках:
$(4 - 3i)i = 4 \cdot i - 3i \cdot i = 4i - 3i^2$
Подставим $i^2 = -1$:
$4i - 3(-1) = 4i + 3$
Запишем в стандартном виде:
$3 + 4i$
Ответ: $3 + 4i$

г) Для вычисления произведения $i(4 - 3i)i(4 + 3i)$ сгруппируем множители для упрощения расчетов:
$i(4 - 3i)i(4 + 3i) = (i \cdot i) \cdot ((4 - 3i)(4 + 3i))$
Вычислим значение каждой группы.
Первая группа: $i \cdot i = i^2 = -1$.
Вторая группа является произведением комплексно-сопряженных чисел вида $(a - bi)(a + bi)$, которое равно $a^2 + b^2$. В нашем случае $a=4$ и $b=3$.
$(4 - 3i)(4 + 3i) = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
Теперь перемножим результаты двух групп:
$(-1) \cdot 25 = -25$
Ответ: $-25$

32.20. a) $(1 - 2i)(1 + i);$

Б) $(1 - i)(1 + i);$

В) $(4 - 3i)(-4 + 3i);$

Г) $(12 + 5i)(12 - 5i).$

а) Чтобы перемножить два комплексных числа, нужно раскрыть скобки как при умножении многочленов, а затем учесть, что мнимая единица в квадрате равна -1, то есть $i^2 = -1$.

$(1 - 2i)(1 + i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot i - 2i \cdot 1 - 2i \cdot i = 1 + i - 2i - 2i^2$.

Приведем подобные слагаемые и заменим $i^2$ на $-1$:

$1 + (1 - 2)i - 2(-1) = 1 - i + 2 = 3 - i$.

Ответ: $3 - i$.

б) В данном случае мы имеем произведение комплексно-сопряженных чисел вида $(a - bi)(a + bi)$, которое равно сумме квадратов действительной и мнимой частей: $(a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2$. Также можно воспользоваться формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

в) Перемножим комплексные числа, раскрыв скобки.

$(4 - 3i)(-4 + 3i) = 4 \cdot (-4) + 4 \cdot 3i - 3i \cdot (-4) - 3i \cdot 3i = -16 + 12i + 12i - 9i^2$.

Сгруппируем действительные и мнимые части и заменим $i^2$ на $-1$:

$-16 + (12 + 12)i - 9(-1) = -16 + 24i + 9 = -7 + 24i$.

Ответ: $-7 + 24i$.

г) Здесь, как и в пункте б), мы имеем произведение комплексно-сопряженных чисел. Применим формулу разности квадратов.

$(12 + 5i)(12 - 5i) = 12^2 - (5i)^2 = 144 - 5^2 \cdot i^2 = 144 - 25i^2$.

Подставим значение $i^2 = -1$:

$144 - 25(-1) = 144 + 25 = 169$.

Ответ: $169$.

32.21. a) $(1 + i)^2$;

б) $(1 - i)^3$;

В) $(2 + i)^5$;

Г) $(1 + i)^3 + (1 - i)^2$.

а) Для вычисления $(1 + i)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2$
Поскольку мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ (т.е. $i^2 = -1$), получаем:
$1 + 2i + (-1) = 1 + 2i - 1 = 2i$
Ответ: $2i$

б) Для вычисления $(1 - i)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
$(1 - i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3$
Зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, подставляем эти значения в выражение:
$1 - 3i + 3(-1) - (-i) = 1 - 3i - 3 + i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(1 - 3) + (-3i + i) = -2 - 2i$
Ответ: $-2 - 2i$

в) Для возведения в пятую степень $(2 + i)^5$ используем формулу бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
В нашем случае $a=2$, $b=i$, $n=5$. Биномиальные коэффициенты $\binom{5}{k}$ для $k=0,1,2,3,4,5$ равны $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
$(2+i)^5 = \binom{5}{0} 2^5 i^0 + \binom{5}{1} 2^4 i^1 + \binom{5}{2} 2^3 i^2 + \binom{5}{3} 2^2 i^3 + \binom{5}{4} 2^1 i^4 + \binom{5}{5} 2^0 i^5$
Вычислим степени $i$: $i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i$.
Подставляем все значения:
$1 \cdot 32 \cdot 1 + 5 \cdot 16 \cdot i + 10 \cdot 8 \cdot (-1) + 10 \cdot 4 \cdot (-i) + 5 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot i$
$= 32 + 80i - 80 - 40i + 10 + i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(32 - 80 + 10) + (80i - 40i + i) = -38 + 41i$
Ответ: $-38 + 41i$

г) Необходимо вычислить сумму $(1 + i)^3 + (1 - i)^2$.
Сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $(1 + i)^3$. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$.
Второе слагаемое: $(1 - i)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(-2 + 2i) + (-2i) = -2 + 2i - 2i = -2$
Ответ: $-2$

32.22. Решите уравнение:

a) $iz = 1;$

б) $(1 + i)z = 1;$

В) $(1 + i)z = i;$

Г) $(1 + i)z = 1 - i.$

а) Дано уравнение $iz = 1$. Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $i$:
$z = \frac{1}{i}$
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:
$z = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2}$
Так как по определению мнимой единицы $i^2 = -1$, то:
$z = \frac{i}{-1} = -i$
Ответ: $z = -i$.

б) Дано уравнение $(1 + i)z = 1$. Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $(1 + i)$:
$z = \frac{1}{1 + i}$
Для того чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю, то есть на $1 - i$:
$z = \frac{1 \cdot (1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i}{1^2 - i^2} = \frac{1 - i}{1 - (-1)} = \frac{1 - i}{2}$
Запишем ответ в алгебраической форме:
$z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
Ответ: $z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

в) Дано уравнение $(1 + i)z = i$. Разделим обе части на $(1 + i)$:
$z = \frac{i}{1 + i}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $1 - i$:
$z = \frac{i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{i - i^2}{1^2 - i^2} = \frac{i - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 + i}{2}$
Запишем ответ в алгебраической форме:
$z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$
Ответ: $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

г) Дано уравнение $(1 + i)z = 1 - i$. Разделим обе части на $(1 + i)$:
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $1 - i$:
$z = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2}$
После упрощения получаем:
$z = -i$
Ответ: $z = -i$.

32.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным $i$, и знаменателем, равным $1 - i$.

а) Найдите третий член прогрессии.

б) Найдите девятый член прогрессии.

в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа?

г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?

а) По условию, первый член геометрической прогрессии $b_1 = i$, а знаменатель $q = 1 - i$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.Для нахождения третьего члена прогрессии ($n=3$) воспользуемся этой формулой:$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.Подставим значения $b_1$ и $q$:$b_3 = i \cdot (1 - i)^2$.Раскроем квадрат разности:$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.Теперь найдем $b_3$:$b_3 = i \cdot (-2i) = -2i^2 = -2(-1) = 2$.Ответ: 2.

б) Для нахождения девятого члена прогрессии ($n=9$) воспользуемся той же формулой: $b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8$.Нам нужно вычислить $(1 - i)^8$. Мы уже знаем, что $(1 - i)^2 = -2i$. Тогда:$(1 - i)^8 = ((1 - i)^2)^4 = (-2i)^4 = (-2)^4 \cdot i^4 = 16 \cdot (i^2)^2 = 16 \cdot (-1)^2 = 16$.Подставим найденное значение в формулу для $b_9$:$b_9 = i \cdot 16 = 16i$.Ответ: 16i.

в) Чтобы определить, на каких местах в прогрессии находятся чисто мнимые числа, представим n-й член прогрессии $b_n = i \cdot (1 - i)^{n-1}$ в тригонометрической или показательной форме.Первый член $b_1 = i$. Его модуль $|b_1|=1$, аргумент $\arg(b_1) = \frac{\pi}{2}$.Знаменатель $q = 1 - i$. Его модуль $|q| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$, аргумент $\arg(q) = -\frac{\pi}{4}$.Тогда n-й член прогрессии в тригонометрической форме:$b_n = |b_1| \cdot |q|^{n-1} \left( \cos(\arg(b_1) + (n-1)\arg(q)) + i \sin(\arg(b_1) + (n-1)\arg(q)) \right)$$b_n = 1 \cdot (\sqrt{2})^{n-1} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - (n-1)\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - (n