Страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.12. a) $Re z + Im z \ge 0;$

б) $1 < Re z + Im z < 2;$

в) $1 < (Re z)^2 + (Im z)^2 < 16;$

г) $(Re z)^2 + (Im z)^2 < 1$ или $16 < (Re z)^2 + (Im z)^2.$

а) Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. Данное неравенство $\text{Re } z + \text{Im } z \ge 0$ на комплексной плоскости, где оси соответствуют действительной ($x$) и мнимой ($y$) частям, принимает вид $x + y \ge 0$. Мы можем переписать это как $y \ge -x$. Граница этой области, $y = -x$, является прямой линией, проходящей через начало координат и являющейся биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Неравенство $y \ge -x$ определяет множество точек, лежащих на этой прямой и выше нее. Таким образом, искомое множество точек — это замкнутая полуплоскость.
Ответ: Замкнутая полуплоскость, расположенная на прямой $y=-x$ и выше нее.

б) Используя ту же подстановку $z = x + iy$, двойное неравенство $1 < \text{Re } z + \text{Im } z < 2$ преобразуется в $1 < x + y < 2$. Это неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:
1) $x + y > 1$, что эквивалентно $y > -x + 1$.
2) $x + y < 2$, что эквивалентно $y < -x + 2$.
Первое неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = -x + 1$. Второе неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -x + 2$. Прямые $y = -x + 1$ и $y = -x + 2$ параллельны друг другу. Искомое множество точек является пересечением этих двух полуплоскостей, то есть полосой, заключенной между этими двумя прямыми. Так как неравенства строгие, сами прямые в искомое множество не входят.
Ответ: Открытая полоса на комплексной плоскости, заключенная между параллельными прямыми $x+y=1$ и $x+y=2$.

в) Неравенство $1 < (\text{Re } z)^2 + (\text{Im } z)^2 < 16$ в координатах $x$ и $y$ имеет вид $1 < x^2 + y^2 < 16$. Выражение $x^2 + y^2$ равно квадрату модуля комплексного числа $z$, то есть $|z|^2$. Таким образом, неравенство можно записать как $1 < |z|^2 < 16$, или, извлекая квадратный корень из всех частей, $1 < |z| < 4$. Уравнение $|z| = r$ (или $x^2+y^2=r^2$) задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом $r$. Неравенство $|z| > 1$ задает множество точек вне окружности радиуса 1, а неравенство $|z| < 4$ — множество точек внутри окружности радиуса 4. Искомое множество является пересечением этих двух областей, то есть кольцом (аннулюсом) с центром в начале координат, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 4. Поскольку неравенства строгие, граничные окружности в множество не включаются.
Ответ: Открытое кольцо с центром в начале координат, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 4.

г) Условие $(\text{Re } z)^2 + (\text{Im } z)^2 < 1$ или $16 < (\text{Re } z)^2 + (\text{Im } z)^2$ в координатах $x$ и $y$ записывается как $x^2 + y^2 < 1$ или $x^2 + y^2 > 16$. Используя модуль комплексного числа, получаем $|z|^2 < 1$ или $|z|^2 > 16$, что эквивалентно $|z| < 1$ или $|z| > 4$.
Неравенство $|z| < 1$ задает открытый круг с центром в начале координат и радиусом 1 (все точки внутри окружности, не включая саму окружность).
Неравенство $|z| > 4$ задает внешность открытого круга с центром в начале координат и радиусом 4 (все точки вне окружности, не включая саму окружность).
Союз "или" означает, что искомое множество является объединением двух указанных областей.
Ответ: Объединение двух областей: открытого круга радиусом 1 с центром в начале координат и множества всех точек, лежащих вне окружности радиусом 4 с центром в начале координат.

33.13. Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = 1 - i$ и $z_2 = -1 + 3i$, а также числа:

a) $3z_1;$

б) $-2z_2;$

в) $z_1 + z_2;$

г) $3z_1 - 2z_2.$

Для того чтобы изобразить комплексные числа на координатной плоскости (также называемой комплексной плоскостью), мы сопоставляем каждому комплексному числу вида $z = a + bi$ точку с координатами $(a, b)$, где ось абсцисс (горизонтальная) является действительной осью (Re), а ось ординат (вертикальная) — мнимой осью (Im).

Исходные числа:

• Числу $z_1 = 1 - i$ соответствует точка на плоскости с координатами $(1, -1)$.
• Числу $z_2 = -1 + 3i$ соответствует точка на плоскости с координатами $(-1, 3)$.

Теперь найдем и изобразим остальные числа.

а) 3z_1

Умножим комплексное число $z_1$ на действительное число 3:
$3z_1 = 3 \cdot (1 - i) = 3 \cdot 1 - 3 \cdot i = 3 - 3i$.
Действительная часть этого числа равна 3, мнимая часть равна -3.
Ответ: На координатной плоскости число $3z_1 = 3 - 3i$ изображается точкой с координатами $(3, -3)$.

б) -2z_2

Умножим комплексное число $z_2$ на действительное число -2:
$-2z_2 = -2 \cdot (-1 + 3i) = (-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot (3i) = 2 - 6i$.
Действительная часть этого числа равна 2, мнимая часть равна -6.
Ответ: На координатной плоскости число $-2z_2 = 2 - 6i$ изображается точкой с координатами $(2, -6)$.

в) z_1 + z_2

Сложим комплексные числа $z_1$ и $z_2$, складывая их действительные и мнимые части отдельно:
$z_1 + z_2 = (1 - i) + (-1 + 3i) = (1 - 1) + (-1 + 3)i = 0 + 2i = 2i$.
Действительная часть этого числа равна 0, мнимая часть равна 2.
Ответ: На координатной плоскости число $z_1 + z_2 = 2i$ изображается точкой с координатами $(0, 2)$.

г) 3z_1 - 2z_2

Выполним вычитание, предварительно умножив числа на коэффициенты:
$3z_1 - 2z_2 = 3(1 - i) - 2(-1 + 3i) = (3 - 3i) - (-2 + 6i)$.
Раскроем скобки: $3 - 3i + 2 - 6i$.
Сгруппируем действительные и мнимые части: $(3 + 2) + (-3 - 6)i = 5 - 9i$.
Действительная часть этого числа равна 5, мнимая часть равна -9.
Ответ: На координатной плоскости число $3z_1 - 2z_2 = 5 - 9i$ изображается точкой с координатами $(5, -9)$.

33.14. Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = 2 - 3i$ и $z_2 = -5 + 2i$, а также числа:

а) $\overline{z_1}$;

б) $\overline{-3z_2}$;

в) $\overline{z_1 + z_2}$;

г) $\overline{z_1 - 3z_2}$.

Даны комплексные числа $z_1 = 2 - 3i$ и $z_2 = -5 + 2i$.

Для изображения комплексного числа $z = a + bi$ на координатной плоскости используется точка с координатами $(a, b)$, где ось абсцисс является действительной осью (Re), а ось ординат — мнимой осью (Im).

Таким образом, числу $z_1$ соответствует точка с координатами $(2, -3)$, а числу $z_2$ — точка с координатами $(-5, 2)$.

Найдем и изобразим на координатной плоскости заданные числа.

а) $\overline{z_1}$

Комплексно-сопряженное число к $z = a + bi$ — это число $\overline{z} = a - bi$. Для числа $z_1 = 2 - 3i$ сопряженным будет:

$\overline{z_1} = \overline{2 - 3i} = 2 + 3i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(2, 3)$. Геометрически это точка, симметричная точке $z_1$ относительно действительной оси.

Ответ: Точка с координатами $(2, 3)$.

б) $\overline{-3z_2}$

Сначала вычислим выражение $-3z_2$:

$-3z_2 = -3(-5 + 2i) = 15 - 6i$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное к полученному числу, используя свойство $\overline{k \cdot z} = k \cdot \overline{z}$ для действительного $k$ или прямое сопряжение:

$\overline{-3z_2} = \overline{15 - 6i} = 15 + 6i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(15, 6)$.

Ответ: Точка с координатами $(15, 6)$.

в) $\overline{z_1 + z_2}$

Сначала найдем сумму $z_1 + z_2$:

$z_1 + z_2 = (2 - 3i) + (-5 + 2i) = (2 - 5) + (-3 + 2)i = -3 - i$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное к сумме, используя свойство $\overline{z_a + z_b} = \overline{z_a} + \overline{z_b}$ или прямое сопряжение:

$\overline{z_1 + z_2} = \overline{-3 - i} = -3 + i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(-3, 1)$.

Ответ: Точка с координатами $(-3, 1)$.

г) $\overline{z_1 - 3z_2}$

Сначала вычислим выражение $z_1 - 3z_2$:

$z_1 - 3z_2 = (2 - 3i) - 3(-5 + 2i) = (2 - 3i) - (-15 + 6i) = 2 - 3i + 15 - 6i = (2 + 15) + (-3 - 6)i = 17 - 9i$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное к полученному числу:

$\overline{z_1 - 3z_2} = \overline{17 - 9i} = 17 + 9i$.

Этому числу на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(17, 9)$.

Ответ: Точка с координатами $(17, 9)$.

Таким образом, для изображения на координатной плоскости необходимо отметить следующие точки:

Исходные числа:

$z_1 = 2 - 3i \rightarrow (2, -3)$

$z_2 = -5 + 2i \rightarrow (-5, 2)$

Вычисленные числа:

а) $\overline{z_1} = 2 + 3i \rightarrow (2, 3)$

б) $\overline{-3z_2} = 15 + 6i \rightarrow (15, 6)$

в) $\overline{z_1 + z_2} = -3 + i \rightarrow (-3, 1)$

г) $\overline{z_1 - 3z_2} = 17 + 9i \rightarrow (17, 9)$

33.15. а) Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = -3 + i$ и $z_2 = 5 + 2i$.

б) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $z_1 + az_2$ — чисто мнимое число.

в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел $z_1$ и $az_2$ из пункта б).

г) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $z_1 + az_2$ — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел $z_1$ и $az_2$.

а) Каждое комплексное число $z = x + yi$ можно представить на комплексной плоскости точкой с координатами $(x, y)$ или радиус-вектором, проведенным из начала координат в эту точку. Действительная часть числа откладывается по оси абсцисс (ось Re), а мнимая — по оси ординат (ось Im).

Для числа $z_1 = -3 + i$ действительная часть $x_1 = -3$, мнимая часть $y_1 = 1$. Это соответствует точке с координатами $(-3, 1)$.

Для числа $z_2 = 5 + 2i$ действительная часть $x_2 = 5$, мнимая часть $y_2 = 2$. Это соответствует точке с координатами $(5, 2)$.

Ответ: Изображение чисел $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости представлено на рисунке.

б) Чтобы число $z_1 + az_2$ было чисто мнимым, его действительная часть должна быть равна нулю. Найдем выражение для этого числа, где $a$ — действительный коэффициент.

$z_1 + az_2 = (-3 + i) + a(5 + 2i) = -3 + i + 5a + 2ai$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$z_1 + az_2 = (-3 + 5a) + (1 + 2a)i$

Действительная часть $Re(z_1 + az_2) = -3 + 5a$. Приравняем ее к нулю:

$-3 + 5a = 0$

$5a = 3$

$a = \frac{3}{5}$

Ответ: $a = \frac{3}{5}$.

в) Для построения суммы $z_1 + az_2$ по правилу параллелограмма используем найденное в пункте б) значение $a = \frac{3}{5}$. Сначала вычислим комплексное число $az_2$:

$az_2 = \frac{3}{5}(5 + 2i) = 3 + \frac{6}{5}i = 3 + 1.2i$

Теперь нужно построить сумму векторов, соответствующих числам $z_1 = -3 + i$ и $az_2 = 3 + 1.2i$. Суммой будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из начала координат. Координаты конца вектора суммы равны $( -3+3, 1+1.2 ) = (0, 2.2)$.

$z_1 + az_2 = (-3+i) + (3+1.2i) = 0 + 2.2i$

Как и ожидалось, результат является чисто мнимым числом и лежит на мнимой оси.

Ответ: Построение суммы по правилу параллелограмма представлено на рисунке.

г) Чтобы число $z_1 + az_2$ было действительным, его мнимая часть должна быть равна нулю. Воспользуемся выражением из пункта б):

$z_1 + az_2 = (-3 + 5a) + (1 + 2a)i$

Мнимая часть $Im(z_1 + az_2) = 1 + 2a$. Приравняем ее к нулю:

$1 + 2a = 0$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

Теперь построим сумму $z_1 + az_2$ для $a = -\frac{1}{2}$. Вычислим $az_2$:

$az_2 = -\frac{1}{2}(5 + 2i) = -2.5 - i$

Складываем векторы $z_1 = -3 + i$ и $az_2 = -2.5 - i$. Координаты конца вектора суммы: $( -3-2.5, 1-1 ) = (-5.5, 0)$.

$z_1 + az_2 = (-3+i) + (-2.5-i) = -5.5$

Результат является действительным числом и лежит на действительной оси.

Ответ: Действительный коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Построение суммы чисел $z_1$ и $az_2$ по правилу параллелограмма представлено на рисунке.

33.16. а) Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = -3 + i$ и $z_2 = 5 + 2i$.

б) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $az_1 + z_2$ — чисто мнимое число.

в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел $az_1$ и $z_2$ из пункта б).

г) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $az_1 + z_2$ — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел $az_1$ и $z_2$.

а) Каждому комплексному числу $z = x + yi$ соответствует точка $(x, y)$ на координатной плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Действительная часть $x$ откладывается по оси абсцисс (ось $Re$), а мнимая часть $y$ — по оси ординат (ось $Im$).

Для числа $z_1 = -3 + i$ действительная часть $x_1 = -3$, а мнимая часть $y_1 = 1$. Этому числу соответствует точка с координатами $(-3, 1)$.

Для числа $z_2 = 5 + 2i$ действительная часть $x_2 = 5$, а мнимая часть $y_2 = 2$. Этому числу соответствует точка с координатами $(5, 2)$.

Изобразим эти точки и соответствующие им векторы на комплексной плоскости:

Ответ: Комплексному числу $z_1 = -3 + i$ соответствует точка $(-3, 1)$, а числу $z_2 = 5 + 2i$ — точка $(5, 2)$. Графическое представление показано на рисунке выше.

б) Чтобы найти действительный коэффициент $a$, при котором число $az_1 + z_2$ является чисто мнимым, нужно, чтобы его действительная часть равнялась нулю.

Сначала вычислим выражение $az_1 + z_2$:

$az_1 + z_2 = a(-3 + i) + (5 + 2i) = -3a + ai + 5 + 2i$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$az_1 + z_2 = (-3a + 5) + (a + 2)i$

Действительная часть этого числа $Re(az_1 + z_2) = -3a + 5$. Приравняем ее к нулю:

$-3a + 5 = 0$

$-3a = -5$

$a = \frac{5}{3}$

Ответ: $a = \frac{5}{3}$.

в) По правилу параллелограмма построим сумму чисел $az_1$ и $z_2$ при $a = \frac{5}{3}$.

Сначала найдем число $az_1$:

$az_1 = \frac{5}{3}(-3 + i) = -5 + \frac{5}{3}i$

Теперь нам нужно сложить два вектора: $az_1$, соответствующий точке $(-5, \frac{5}{3})$, и $z_2$, соответствующий точке $(5, 2)$.

Их сумма: $S_1 = az_1 + z_2 = (-5 + \frac{5}{3}i) + (5 + 2i) = (-5+5) + (\frac{5}{3} + 2)i = 0 + \frac{11}{3}i$.

Для построения по правилу параллелограмма отложим от начала координат векторы $az_1$ и $z_2$. Затем через конец вектора $az_1$ проведем вектор, равный вектору $z_2$, а через конец вектора $z_2$ — вектор, равный $az_1$. Диагональ полученного параллелограмма, исходящая из начала координат, и будет вектором суммы.

Ответ: Сумма $az_1 + z_2 = \frac{11}{3}i$. Построение по правилу параллелограмма показано на рисунке.

г) Чтобы найти действительный коэффициент $a$, при котором число $az_1 + z_2$ является действительным, нужно, чтобы его мнимая часть равнялась нулю.

Воспользуемся выражением из пункта б): $az_1 + z_2 = (-3a + 5) + (a + 2)i$.

Мнимая часть этого числа $Im(az_1 + z_2) = a + 2$. Приравняем ее к нулю:

$a + 2 = 0$

$a = -2$

Теперь построим сумму по правилу параллелограмма для $a = -2$.

Найдем $az_1$: $az_1 = -2(-3 + i) = 6 - 2i$.

Нужно сложить векторы $az_1$, соответствующий точке $(6, -2)$, и $z_2$, соответствующий точке $(5, 2)$.

Их сумма: $S_2 = az_1 + z_2 = (6 - 2i) + (5 + 2i) = (6+5) + (-2+2)i = 11$.

Построение аналогично предыдущему пункту.

Ответ: $a = -2$. Сумма $az_1 + z_2 = 11$. Построение по правилу параллелограмма показано на рисунке.

33.17. a) Для $n = 1, 2, 3, 4$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (2n - 1) + (5 - n)i$;

б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой $l$; составьте уравнение прямой;

в) укажите число, лежащее на прямой $l$, у которого $Re z = -5$;

г) укажите число, лежащее на прямой $l$, у которого $Im z = 8$.

а) Для того чтобы изобразить точки $z_n$ на координатной плоскости, найдем их действительные ($\mathrm{Re}\,z$) и мнимые ($\mathrm{Im}\,z$) части для $n = 1, 2, 3, 4$. Комплексному числу $z = x + yi$ соответствует точка с координатами $(x, y)$.
Для $n=1$: $z_1 = (2 \cdot 1 - 1) + (5 - 1)i = 1 + 4i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(1, 4)$.
Для $n=2$: $z_2 = (2 \cdot 2 - 1) + (5 - 2)i = 3 + 3i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(3, 3)$.
Для $n=3$: $z_3 = (2 \cdot 3 - 1) + (5 - 3)i = 5 + 2i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(5, 2)$.
Для $n=4$: $z_4 = (2 \cdot 4 - 1) + (5 - 4)i = 7 + 1i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(7, 1)$.
На координатной плоскости эти точки располагаются на одной прямой.

Ответ: Точки, соответствующие числам $z_1, z_2, z_3, z_4$, имеют координаты $(1, 4), (3, 3), (5, 2)$ и $(7, 1)$ соответственно.

б) Чтобы доказать, что все точки $z_n = (2n - 1) + (5 - n)i$ лежат на одной прямой, найдем связь между их действительной частью $x = 2n - 1$ и мнимой частью $y = 5 - n$, исключив параметр $n$.
Из уравнения для мнимой части выразим $n$: $y = 5 - n \implies n = 5 - y$.
Теперь подставим это выражение для $n$ в уравнение для действительной части:
$x = 2(5 - y) - 1$
$x = 10 - 2y - 1$
$x = 9 - 2y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:
$x + 2y - 9 = 0$
Так как координаты $(x, y)$ любой точки $z_n$ удовлетворяют этому линейному уравнению, все эти точки лежат на одной прямой $l$. Уравнение этой прямой $x + 2y - 9 = 0$.

Ответ: Все точки лежат на одной прямой, так как их координаты $x = 2n-1$ и $y = 5-n$ связаны линейным уравнением $x + 2y - 9 = 0$, которое и является уравнением прямой $l$.

в) Требуется найти комплексное число $z = x + yi$, лежащее на прямой $l$, у которого действительная часть $\mathrm{Re}\,z = x = -5$. Для этого подставим значение $x = -5$ в уравнение прямой $l$:
$-5 + 2y - 9 = 0$
$2y - 14 = 0$
$2y = 14$
$y = 7$
Таким образом, мнимая часть искомого числа равна 7.

Ответ: Искомое число $z = -5 + 7i$.

г) Требуется найти комплексное число $z = x + yi$, лежащее на прямой $l$, у которого мнимая часть $\mathrm{Im}\,z = y = 8$. Для этого подставим значение $y = 8$ в уравнение прямой $l$:
$x + 2(8) - 9 = 0$
$x + 16 - 9 = 0$
$x + 7 = 0$
$x = -7$
Таким образом, действительная часть искомого числа равна -7.

Ответ: Искомое число $z = -7 + 8i$.

33.18. а) Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (n - 1) + (n^2 - 5n + 6)i$.

б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы.

в) Найдите действительную часть суммы $z_1 + z_2 + ... + z_6$.

г) Укажите наименьший номер $n$, начиная с которого мнимая часть числа $z_n$ будет больше 100.

а) Комплексному числу $z_n = (n - 1) + (n^2 - 5n + 6)i$ на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(x_n, y_n)$, где действительная часть $x_n = \text{Re}(z_n) = n - 1$ и мнимая часть $y_n = \text{Im}(z_n) = n^2 - 5n + 6$.

Вычислим координаты точек для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$:

При $n = 1$: $x_1 = 1 - 1 = 0$, $y_1 = 1^2 - 5(1) + 6 = 2$. Точка $z_1$ соответствует точке $(0, 2)$.
При $n = 2$: $x_2 = 2 - 1 = 1$, $y_2 = 2^2 - 5(2) + 6 = 0$. Точка $z_2$ соответствует точке $(1, 0)$.
При $n = 3$: $x_3 = 3 - 1 = 2$, $y_3 = 3^2 - 5(3) + 6 = 0$. Точка $z_3$ соответствует точке $(2, 0)$.
При $n = 4$: $x_4 = 4 - 1 = 3$, $y_4 = 4^2 - 5(4) + 6 = 2$. Точка $z_4$ соответствует точке $(3, 2)$.
При $n = 5$: $x_5 = 5 - 1 = 4$, $y_5 = 5^2 - 5(5) + 6 = 6$. Точка $z_5$ соответствует точке $(4, 6)$.
При $n = 6$: $x_6 = 6 - 1 = 5$, $y_6 = 6^2 - 5(6) + 6 = 12$. Точка $z_6$ соответствует точке $(5, 12)$.

Эти шесть точек и есть искомое изображение на координатной плоскости.

Ответ: Точки на координатной плоскости: $(0, 2), (1, 0), (2, 0), (3, 2), (4, 6), (5, 12)$.

б) Чтобы доказать, что все точки $z_n$ лежат на одной параболе, нужно найти зависимость между их координатами $x$ и $y$, которая не зависит от параметра $n$.

Координаты точек заданы параметрически: $x = n - 1$ и $y = n^2 - 5n + 6$.

Из первого уравнения выразим параметр $n$: $n = x + 1$.

Подставим это выражение для $n$ во второе уравнение:

$y = (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = (x^2 + 2x + 1) - (5x + 5) + 6$

$y = x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6$

$y = x^2 - 3x + 2$

Мы получили уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$, которое является уравнением параболы. Поскольку координаты любой точки $z_n$ удовлетворяют этому уравнению, все эти точки лежат на данной параболе.

Ответ: Точки лежат на параболе, уравнение которой $y = x^2 - 3x + 2$.

в) Требуется найти действительную часть суммы $S = z_1 + z_2 + \dots + z_6$.

Действительная часть суммы комплексных чисел равна сумме их действительных частей:

$\text{Re}(S) = \text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2) + \dots + \text{Re}(z_6)$

Действительная часть числа $z_n$ равна $x_n = \text{Re}(z_n) = n - 1$.

Следовательно, нам нужно вычислить сумму действительных частей для $n$ от 1 до 6:

$\sum_{n=1}^{6} \text{Re}(z_n) = \sum_{n=1}^{6} (n - 1) = (1 - 1) + (2 - 1) + (3 - 1) + (4 - 1) + (5 - 1) + (6 - 1)$

$\sum_{n=1}^{6} (n - 1) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Ответ: Действительная часть суммы равна 15.

г) Необходимо найти наименьший натуральный номер $n$, начиная с которого мнимая часть числа $z_n$ будет больше 100.

Мнимая часть числа $z_n$ равна $y_n = \text{Im}(z_n) = n^2 - 5n + 6$.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 5n + 6 > 100$

$n^2 - 5n - 94 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 5n - 94 = 0$, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-94)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 376}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{401}}{2}$

Оценим значение $\sqrt{401}$. Поскольку $20^2 = 400$, то $\sqrt{401}$ немного больше 20.

Найдем приближенные значения корней:

$n_1 = \frac{5 - \sqrt{401}}{2} \approx \frac{5 - 20.025}{2} \approx -7.51$

$n_2 = \frac{5 + \sqrt{401}}{2} \approx \frac{5 + 20.025}{2} \approx 12.51$

Парабола $f(n) = n^2 - 5n - 94$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(n) > 0$ выполняется при $n < n_1$ или $n > n_2$.

Поскольку номер $n$ по условию является натуральным числом, нас интересует решение $n > n_2$, то есть $n > 12.51...$ .

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n = 13$.

Сделаем проверку:

При $n = 12$: $\text{Im}(z_{12}) = 12^2 - 5(12) + 6 = 144 - 60 + 6 = 90$. Это значение не больше 100.

При $n = 13$: $\text{Im}(z_{13}) = 13^2 - 5(13) + 6 = 169 - 65 + 6 = 110$. Это значение больше 100.

Ответ: Наименьший номер $n$ равен 13.