Номер 33.17, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.17. a) Для $n = 1, 2, 3, 4$ изобразите на координатной плоскости точки $z_n = (2n - 1) + (5 - n)i$;

б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой $l$; составьте уравнение прямой;

в) укажите число, лежащее на прямой $l$, у которого $Re z = -5$;

г) укажите число, лежащее на прямой $l$, у которого $Im z = 8$.

а) Для того чтобы изобразить точки $z_n$ на координатной плоскости, найдем их действительные ($\mathrm{Re}\,z$) и мнимые ($\mathrm{Im}\,z$) части для $n = 1, 2, 3, 4$. Комплексному числу $z = x + yi$ соответствует точка с координатами $(x, y)$.
Для $n=1$: $z_1 = (2 \cdot 1 - 1) + (5 - 1)i = 1 + 4i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(1, 4)$.
Для $n=2$: $z_2 = (2 \cdot 2 - 1) + (5 - 2)i = 3 + 3i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(3, 3)$.
Для $n=3$: $z_3 = (2 \cdot 3 - 1) + (5 - 3)i = 5 + 2i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(5, 2)$.
Для $n=4$: $z_4 = (2 \cdot 4 - 1) + (5 - 4)i = 7 + 1i$. Этому числу соответствует точка с координатами $(7, 1)$.
На координатной плоскости эти точки располагаются на одной прямой.

Ответ: Точки, соответствующие числам $z_1, z_2, z_3, z_4$, имеют координаты $(1, 4), (3, 3), (5, 2)$ и $(7, 1)$ соответственно.

б) Чтобы доказать, что все точки $z_n = (2n - 1) + (5 - n)i$ лежат на одной прямой, найдем связь между их действительной частью $x = 2n - 1$ и мнимой частью $y = 5 - n$, исключив параметр $n$.
Из уравнения для мнимой части выразим $n$: $y = 5 - n \implies n = 5 - y$.
Теперь подставим это выражение для $n$ в уравнение для действительной части:
$x = 2(5 - y) - 1$
$x = 10 - 2y - 1$
$x = 9 - 2y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:
$x + 2y - 9 = 0$
Так как координаты $(x, y)$ любой точки $z_n$ удовлетворяют этому линейному уравнению, все эти точки лежат на одной прямой $l$. Уравнение этой прямой $x + 2y - 9 = 0$.

Ответ: Все точки лежат на одной прямой, так как их координаты $x = 2n-1$ и $y = 5-n$ связаны линейным уравнением $x + 2y - 9 = 0$, которое и является уравнением прямой $l$.

в) Требуется найти комплексное число $z = x + yi$, лежащее на прямой $l$, у которого действительная часть $\mathrm{Re}\,z = x = -5$. Для этого подставим значение $x = -5$ в уравнение прямой $l$:
$-5 + 2y - 9 = 0$
$2y - 14 = 0$
$2y = 14$
$y = 7$
Таким образом, мнимая часть искомого числа равна 7.

Ответ: Искомое число $z = -5 + 7i$.

г) Требуется найти комплексное число $z = x + yi$, лежащее на прямой $l$, у которого мнимая часть $\mathrm{Im}\,z = y = 8$. Для этого подставим значение $y = 8$ в уравнение прямой $l$:
$x + 2(8) - 9 = 0$
$x + 16 - 9 = 0$
$x + 7 = 0$
$x = -7$
Таким образом, действительная часть искомого числа равна -7.

Ответ: Искомое число $z = -7 + 8i$.