Номер 34.1, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.1. a) $6 - 8i$;

б) $20 + 21i$;

В) $i(2 + i)$;

Г) $(3 - i)(2 + i)$.

Для решения задачи необходимо найти квадратный корень из заданных комплексных чисел. Для комплексного числа $z = a + bi$ его квадратный корень $w = x + yi$ можно найти, решив уравнение $w^2 = z$, что эквивалентно системе уравнений для действительных чисел $x$ и $y$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases}$

Решение этой системы можно найти по формулам:

$x = \pm \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

Знак $y$ выбирается в соответствии со знаком $b$ из уравнения $2xy=b$: если $b > 0$, то знаки $x$ и $y$ совпадают; если $b < 0$, то знаки $x$ и $y$ противоположны.

а) 6 – 8i;

Найдем квадратный корень из комплексного числа $z = 6 - 8i$. Здесь $a=6$, $b=-8$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь найдем значения для $x$ и $y$ по формулам:

$x = \pm \sqrt{\frac{6 + 10}{2}} = \pm \sqrt{\frac{16}{2}} = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-6 + 10}{2}} = \pm \sqrt{\frac{4}{2}} = \pm \sqrt{2}$.

Так как $b = -8 < 0$, знаки у $x$ и $y$ должны быть противоположными. Выбираем соответствующие пары:

Первый корень: $2\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Второй корень: $-2\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm(2\sqrt{2} - i\sqrt{2})$.

б) 20 + 21i;

Найдем квадратный корень из $z = 20 + 21i$. Здесь $a=20$, $b=21$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$.

Вычислим $x$ и $y$:

$x = \pm \sqrt{\frac{20 + 29}{2}} = \pm \sqrt{\frac{49}{2}} = \pm \frac{7}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-20 + 29}{2}} = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Так как $b = 21 > 0$, знаки у $x$ и $y$ должны совпадать.

Первый корень: $\frac{7\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Второй корень: $-\frac{7\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\pm\left(\frac{7\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$.

в) i(2 + i);

Сначала упростим выражение: $i(2 + i) = 2i + i^2 = 2i - 1 = -1 + 2i$.

Найдем квадратный корень из $z = -1 + 2i$. Здесь $a=-1$, $b=2$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Вычислим $x$ и $y$:

$x = \pm \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.

Так как $b = 2 > 0$, знаки у $x$ и $y$ должны совпадать.

Первый корень: $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.

Второй корень: $-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.

Ответ: $\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\right)$.

г) (3 – i)(2 + i).

Сначала упростим выражение: $(3 - i)(2 + i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot i - i \cdot 2 - i^2 = 6 + 3i - 2i - (-1) = 7 + i$.

Найдем квадратный корень из $z = 7 + i$. Здесь $a=7$, $b=1$.

Найдем модуль числа $z$: $|z| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Вычислим $x$ и $y$:

$x = \pm \sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{-7 + 5\sqrt{2}}{2}}$.

Так как $b = 1 > 0$, знаки у $x$ и $y$ должны совпадать.

Первый корень: $\sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{5\sqrt{2} - 7}{2}}$.

Второй корень: $-\sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{5\sqrt{2} - 7}{2}}$.

Ответ: $\pm\left(\sqrt{\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{5\sqrt{2} - 7}{2}}\right)$.