Номер 34.3, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.3. Для комплексных чисел $z_1 = 12 - 5i$ и $z_2 = 3 + 4i$:

а) найдите $|z_1|$ и $|z_2|$;

б) вычислите $z_1z_2$ и проверьте равенство $|z_1z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$;

в) вычислите $\frac{1}{z_1}$ и проверьте равенство $|\frac{1}{z_1}| = \frac{1}{|z_1|}$;

г) вычислите $\frac{z_1}{z_2}$ и проверьте равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.

Даны комплексные числа $z_1 = 12 - 5i$ и $z_2 = 3 + 4i$.

а) найдите $|z_1|$ и $|z_2|$

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для числа $z_1 = 12 - 5i$ действительная часть $a_1 = 12$, а мнимая часть $b_1 = -5$. Вычисляем его модуль:

$|z_1| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Для числа $z_2 = 3 + 4i$ действительная часть $a_2 = 3$, а мнимая часть $b_2 = 4$. Вычисляем его модуль:

$|z_2| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $|z_1| = 13$, $|z_2| = 5$.

б) вычислите $z_1 z_2$ и проверьте равенство $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

Сначала вычислим произведение $z_1 z_2$:

$z_1 z_2 = (12 - 5i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i - 5i \cdot 3 - 5i \cdot 4i = 36 + 48i - 15i - 20i^2$.

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$z_1 z_2 = 36 + (48 - 15)i - 20(-1) = 36 + 33i + 20 = 56 + 33i$.

Теперь найдем модуль произведения $|z_1 z_2|$:

$|z_1 z_2| = |56 + 33i| = \sqrt{56^2 + 33^2} = \sqrt{3136 + 1089} = \sqrt{4225} = 65$.

Далее, вычислим произведение модулей $|z_1| \cdot |z_2|$, используя значения из пункта а):

$|z_1| \cdot |z_2| = 13 \cdot 5 = 65$.

Проверяем равенство: $65 = 65$. Равенство $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ выполняется.

Ответ: $z_1 z_2 = 56 + 33i$; равенство подтверждено, так как $65 = 65$.

в) вычислите $\frac{1}{z_1}$ и проверьте равенство $|\frac{1}{z_1}| = \frac{1}{|z_1|}$

Чтобы вычислить $\frac{1}{z_1}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $12 + 5i$:

$\frac{1}{z_1} = \frac{1}{12 - 5i} = \frac{1 \cdot (12 + 5i)}{(12 - 5i)(12 + 5i)} = \frac{12 + 5i}{12^2 - (5i)^2} = \frac{12 + 5i}{144 - 25i^2} = \frac{12 + 5i}{144 + 25} = \frac{12 + 5i}{169} = \frac{12}{169} + \frac{5}{169}i$.

Теперь найдем модуль полученного числа $|\frac{1}{z_1}|$:

$|\frac{1}{z_1}| = |\frac{12}{169} + \frac{5}{169}i| = \sqrt{(\frac{12}{169})^2 + (\frac{5}{169})^2} = \sqrt{\frac{144}{169^2} + \frac{25}{169^2}} = \sqrt{\frac{144 + 25}{169^2}} = \sqrt{\frac{169}{169^2}} = \sqrt{\frac{1}{169}} = \frac{1}{13}$.

Теперь вычислим правую часть равенства $\frac{1}{|z_1|}$, используя значение $|z_1|=13$ из пункта а):

$\frac{1}{|z_1|} = \frac{1}{13}$.

Проверяем равенство: $\frac{1}{13} = \frac{1}{13}$. Равенство $|\frac{1}{z_1}| = \frac{1}{|z_1|}$ выполняется.

Ответ: $\frac{1}{z_1} = \frac{12}{169} + \frac{5}{169}i$; равенство подтверждено, так как $\frac{1}{13} = \frac{1}{13}$.

г) вычислите $\frac{z_1}{z_2}$ и проверьте равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

Чтобы вычислить частное $\frac{z_1}{z_2}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $z_2$, то есть на $3 - 4i$:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{12 - 5i}{3 + 4i} = \frac{(12 - 5i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{12 \cdot 3 - 12 \cdot 4i - 5i \cdot 3 + 5i \cdot 4i}{3^2 - (4i)^2} = \frac{36 - 48i - 15i + 20i^2}{9 - 16i^2} = \frac{36 - 63i - 20}{9 + 16} = \frac{16 - 63i}{25} = \frac{16}{25} - \frac{63}{25}i$.

Теперь найдем модуль частного $|\frac{z_1}{z_2}|$:

$|\frac{z_1}{z_2}| = |\frac{16}{25} - \frac{63}{25}i| = \sqrt{(\frac{16}{25})^2 + (-\frac{63}{25})^2} = \sqrt{\frac{256}{625} + \frac{3969}{625}} = \sqrt{\frac{256 + 3969}{625}} = \sqrt{\frac{4225}{625}} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5}$.

Теперь вычислим правую часть равенства $\frac{|z_1|}{|z_2|}$, используя значения из пункта а):

$\frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{13}{5}$.

Проверяем равенство: $\frac{13}{5} = \frac{13}{5}$. Равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ выполняется.

Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{25} - \frac{63}{25}i$; равенство подтверждено, так как $\frac{13}{5} = \frac{13}{5}$.