Номер 34.9, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.9. Про комплексное число $ \text{Re } z = 3 $ или $ \text{Im } z = 4 $. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что:

a) $ |z| = 3 $;

б) $ |z| = 4 $;

в) $ |z| = 5 $;

г) $ |z| = 10 $?

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ - его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ - мнимая часть. По условию, $x = 3$ или $y = 4$. Модуль комплексного числа $|z|$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Следовательно, условие $|z| = R$ равносильно уравнению $x^2 + y^2 = R^2$, которое задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом $R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества точек пересечения двух прямых, заданных уравнениями $x=3$ и $y=4$, с окружностью $x^2 + y^2 = R^2$ для различных значений радиуса $R$. Мы будем рассматривать два случая: 1) $x=3$ и 2) $y=4$, а затем подсчитаем общее количество уникальных решений.

а) Рассмотрим случай, когда $|z| = 3$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 3^2 = 9$.

1. Если $x=3$, подставим это значение в уравнение окружности: $3^2 + y^2 = 9 \implies 9 + y^2 = 9 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$. Получаем одно решение: $z_1 = 3 + 0i = 3$.

2. Если $y=4$, подставим это значение в уравнение окружности: $x^2 + 4^2 = 9 \implies x^2 + 16 = 9 \implies x^2 = -7$. Данное уравнение не имеет действительных решений для $x$, поэтому в этом случае решений нет.

Суммируя результаты, получаем одно комплексное число, удовлетворяющее заданным условиям.

Ответ: 1.

б) Рассмотрим случай, когда $|z| = 4$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 4^2 = 16$.

1. Если $x=3$: $3^2 + y^2 = 16 \implies 9 + y^2 = 16 \implies y^2 = 7 \implies y = \pm\sqrt{7}$. Получаем два решения: $z_1 = 3 + i\sqrt{7}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{7}$.

2. Если $y=4$: $x^2 + 4^2 = 16 \implies x^2 + 16 = 16 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$. Получаем одно решение: $z_3 = 0 + 4i = 4i$.

Все три найденных решения ($3 + i\sqrt{7}$, $3 - i\sqrt{7}$, $4i$) различны. Таким образом, всего существует три таких комплексных числа.

Ответ: 3.

в) Рассмотрим случай, когда $|z| = 5$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

1. Если $x=3$: $3^2 + y^2 = 25 \implies 9 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$. Получаем два решения: $z_1 = 3 + 4i$ и $z_2 = 3 - 4i$.

2. Если $y=4$: $x^2 + 4^2 = 25 \implies x^2 + 16 = 25 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Получаем два решения: $z_3 = 3 + 4i$ и $z_4 = -3 + 4i$.

Решение $z = 3 + 4i$ встречается в обоих случаях. Это число соответствует точке пересечения прямых $x=3$ и $y=4$, которая лежит на данной окружности, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Уникальными решениями являются: $3 + 4i$, $3 - 4i$ и $-3 + 4i$. Всего их три.

Ответ: 3.

г) Рассмотрим случай, когда $|z| = 10$. Это соответствует окружности $x^2 + y^2 = 10^2 = 100$.

1. Если $x=3$: $3^2 + y^2 = 100 \implies 9 + y^2 = 100 \implies y^2 = 91 \implies y = \pm\sqrt{91}$. Получаем два решения: $z_1 = 3 + i\sqrt{91}$ и $z_2 = 3 - i\sqrt{91}$.

2. Если $y=4$: $x^2 + 4^2 = 100 \implies x^2 + 16 = 100 \implies x^2 = 84 \implies x = \pm\sqrt{84} = \pm 2\sqrt{21}$. Получаем два решения: $z_3 = 2\sqrt{21} + 4i$ и $z_4 = -2\sqrt{21} + 4i$.

Все четыре найденных решения различны, так как точка пересечения прямых $(3, 4)$ не лежит на окружности ($3^2 + 4^2 = 25 \neq 100$), и, следовательно, общих решений у двух случаев нет. Общее число решений равно $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.