Номер 34.11, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.11. Число $z$ задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму:

а) $z = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4};$

б) $z = \cos \frac{10\pi}{3} + i \sin \frac{10\pi}{3};$

в) $z = \cos \frac{9\pi}{4} + i \sin \frac{9\pi}{4};$

г) $z = \cos \frac{101\pi}{6} + i \sin \frac{101\pi}{6}.$

Стандартная тригонометрическая форма комплексного числа $z$ имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r \ge 0$ — модуль числа, а $\varphi$ — его главный аргумент, который обычно выбирается из промежутка $(-\pi, \pi]$. Во всех данных задачах модуль $r=1$. Задача сводится к нахождению главного значения аргумента $\varphi$ путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — целое число) из заданного угла, чтобы результат попал в указанный промежуток.

а) Для числа $z = \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}$ задан аргумент $\theta = \frac{7\pi}{4}$. Чтобы найти главный аргумент, вычтем из $\theta$ один полный оборот $2\pi$, так как $\frac{7\pi}{4}$ близко к $2\pi$. Получаем: $\varphi = \frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi - 8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})$

б) Для числа $z = \cos\frac{10\pi}{3} + i\sin\frac{10\pi}{3}$ задан аргумент $\theta = \frac{10\pi}{3}$. Представим $\frac{10\pi}{3}$ как $\frac{12\pi - 2\pi}{3} = 4\pi - \frac{2\pi}{3}$. Вычитая два полных оборота ($4\pi$), получаем главный аргумент: $\varphi = \frac{10\pi}{3} - 4\pi = \frac{10\pi - 12\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})$

в) Для числа $z = \cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}$ задан аргумент $\theta = \frac{9\pi}{4}$. Представим $\frac{9\pi}{4}$ как $\frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$. Вычитая один полный оборот ($2\pi$), получаем главный аргумент: $\varphi = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi - 8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})$

г) Для числа $z = \cos\frac{101\pi}{6} + i\sin\frac{101\pi}{6}$ задан аргумент $\theta = \frac{101\pi}{6}$. Представим $\frac{101\pi}{6}$ как $\frac{96\pi + 5\pi}{6} = \frac{96\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = 16\pi + \frac{5\pi}{6}$. Вычитая восемь полных оборотов ($16\pi$), получаем главный аргумент: $\varphi = \frac{101\pi}{6} - 16\pi = \frac{101\pi - 96\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Этот угол принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$.

Ответ: $z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})$