Номер 34.4, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.4. Для комплексных чисел $z_1 = 3 - i$ и $z_2 = 1 + 2i$:

а) найдите $|\overline{z_1}|$ и $|\overline{z_2}|$ и проверьте равенства $|\overline{z_1}| = |z_1|$ и $|\overline{z_2}| = |z_2|;

б) проверьте неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|;$

в) вычислите $\overline{z_1 z_2}$ и проверьте равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\overline{z_1}| \cdot |\overline{z_2}|;

г) проверьте неравенство $|z_1 - z_2| > |z_1| - |z_2|.$

а) Даны комплексные числа $z_1 = 3 - i$ и $z_2 = 1 + 2i$.
Сначала найдем комплексно-сопряженные числа к данным. Для комплексного числа $z = a + bi$ сопряженным является $\bar{z} = a - bi$.
$\bar{z}_1 = \overline{3 - i} = 3 + i$.
$\bar{z}_2 = \overline{1 + 2i} = 1 - 2i$.
Теперь найдем модули этих сопряженных чисел. Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
$|\bar{z}_1| = |3 + i| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$|\bar{z}_2| = |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
Для проверки равенств вычислим модули исходных чисел:
$|z_1| = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$|z_2| = |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
Проверим равенства:
Для первого числа: $|\bar{z}_1| = \sqrt{10}$ и $|z_1| = \sqrt{10}$. Таким образом, равенство $|\bar{z}_1| = |z_1|$ выполняется.
Для второго числа: $|\bar{z}_2| = \sqrt{5}$ и $|z_2| = \sqrt{5}$. Таким образом, равенство $|\bar{z}_2| = |z_2|$ выполняется.
Ответ: $|\bar{z}_1| = \sqrt{10}$, $|\bar{z}_2| = \sqrt{5}$. Равенства $|\bar{z}_1| = |z_1|$ и $|\bar{z}_2| = |z_2|$ верны.

б) Проверим неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|$, известное как неравенство треугольника.
Сначала найдем сумму чисел $z_1$ и $z_2$:
$z_1 + z_2 = (3 - i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (-1 + 2)i = 4 + i$.
Вычислим модуль этой суммы (левая часть неравенства):
$|z_1 + z_2| = |4 + i| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
Теперь вычислим сумму модулей (правая часть неравенства), используя значения, найденные в пункте а):
$|z_1| + |z_2| = \sqrt{10} + \sqrt{5}$.
Проверим, выполняется ли неравенство $\sqrt{17} < \sqrt{10} + \sqrt{5}$.
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат для сравнения:
$(\sqrt{17})^2 = 17$.
$(\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 10 + 2\sqrt{50} + 5 = 15 + 2\sqrt{25 \cdot 2} = 15 + 10\sqrt{2}$.
Неравенство принимает вид: $17 < 15 + 10\sqrt{2}$.
Вычтем 15 из обеих частей: $2 < 10\sqrt{2}$.
Разделим обе части на 2: $1 < 5\sqrt{2}$.
Это неравенство верно, так как $(5\sqrt{2})^2 = 50$, а $1^2 = 1$, и $1 < 50$.
Следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство $|z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2|$ выполняется, так как $\sqrt{17} \approx 4.12$, а $\sqrt{10} + \sqrt{5} \approx 3.16 + 2.24 = 5.4$.

в) Вычислим $\overline{z_1 z_2}$ и проверим равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\bar{z}_1| \cdot |\bar{z}_2|$.
Сначала найдем произведение $z_1 z_2$:
$z_1 z_2 = (3 - i)(1 + 2i) = 3(1) + 3(2i) - i(1) - i(2i) = 3 + 6i - i - 2i^2 = 3 + 5i - 2(-1) = 5 + 5i$.
Теперь найдем комплексно-сопряженное число к этому произведению:
$\overline{z_1 z_2} = \overline{5 + 5i} = 5 - 5i$.
Найдем модуль левой части равенства:
$|\overline{z_1 z_2}| = |5 - 5i| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
Теперь вычислим правую часть равенства, используя модули, найденные в пункте а):
$|\bar{z}_1| \cdot |\bar{z}_2| = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
Сравнивая левую и правую части, получаем $5\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Равенство подтверждается.
Ответ: $\overline{z_1 z_2} = 5 - 5i$. Равенство $|\overline{z_1 z_2}| = |\bar{z}_1| \cdot |\bar{z}_2|$ верно.

г) Проверим неравенство $|z_1 - z_2| > |z_1| - |z_2|$.
Сначала найдем разность $z_1 - z_2$:
$z_1 - z_2 = (3 - i) - (1 + 2i) = (3 - 1) + (-1 - 2)i = 2 - 3i$.
Вычислим модуль этой разности (левая часть неравенства):
$|z_1 - z_2| = |2 - 3i| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Теперь вычислим разность модулей (правая часть неравенства), используя значения из пункта а):
$|z_1| - |z_2| = \sqrt{10} - \sqrt{5}$.
Проверим, выполняется ли неравенство $\sqrt{13} > \sqrt{10} - \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{10} > \sqrt{5}$, правая часть положительна. Обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{13})^2 = 13$.
$(\sqrt{10} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 10 - 2\sqrt{50} + 5 = 15 - 10\sqrt{2}$.
Неравенство принимает вид: $13 > 15 - 10\sqrt{2}$.
Преобразуем неравенство: $10\sqrt{2} > 15 - 13$, что дает $10\sqrt{2} > 2$, или $5\sqrt{2} > 1$.
Это неравенство очевидно верно, так как $(5\sqrt{2})^2 = 50$, а $1^2 = 1$, и $50 > 1$.
Следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство $|z_1 - z_2| > |z_1| - |z_2|$ выполняется, так как $\sqrt{13} \approx 3.61$, а $\sqrt{10} - \sqrt{5} \approx 3.16 - 2.24 = 0.92$.