Номер 33.23, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.23. а) $z \operatorname{Re}(z - 4) = i - 4;$

б) $z \operatorname{Im}(z + 2i) = 7 - i;$

в) $\overline{z}(\operatorname{Re} z - 6) = 21i - 9;$

г) $\overline{z}(\operatorname{Im} z + 4) = 10 + 4i.$

а) $z \text{Re}(z - 4) = i - 4$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + yi$, где $x$ и $y$ – действительные числа.

Найдем действительную часть выражения $z - 4$:
$z - 4 = (x + yi) - 4 = (x - 4) + yi$.
Следовательно, $\text{Re}(z - 4) = x - 4$.

Подставим это в исходное уравнение:
$(x + yi)(x - 4) = -4 + i$.

Раскроем скобки в левой части:
$x(x - 4) + y(x - 4)i = -4 + i$.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} x(x - 4) = -4 \\ y(x - 4) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 4x = -4$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
Отсюда $x = 2$.

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение:
$y(2 - 4) = 1$
$-2y = 1$
$y = -1/2$.

Таким образом, искомое комплексное число $z = x + yi = 2 - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $z = 2 - \frac{1}{2}i$.

б) $z \text{Im}(z + 2i) = 7 - i$

Пусть $z = x + yi$.

Найдем мнимую часть выражения $z + 2i$:
$z + 2i = (x + yi) + 2i = x + (y + 2)i$.
Следовательно, $\text{Im}(z + 2i) = y + 2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(x + yi)(y + 2) = 7 - i$.

Раскроем скобки:
$x(y + 2) + y(y + 2)i = 7 - i$.

Приравняем действительные и мнимые части:
$\begin{cases} x(y + 2) = 7 \\ y(y + 2) = -1 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:
$y^2 + 2y = -1$
$y^2 + 2y + 1 = 0$
$(y + 1)^2 = 0$
Отсюда $y = -1$.

Подставим $y = -1$ в первое уравнение:
$x(-1 + 2) = 7$
$x(1) = 7$
$x = 7$.

Таким образом, $z = x + yi = 7 - i$.

Ответ: $z = 7 - i$.

в) $\bar{z}(\text{Re} z - 6) = 21i - 9$

Пусть $z = x + yi$. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - yi$, а действительная часть $\text{Re} z = x$.

Подставим эти выражения в уравнение:
$(x - yi)(x - 6) = -9 + 21i$.

Раскроем скобки:
$x(x - 6) - y(x - 6)i = -9 + 21i$.

Приравняем действительные и мнимые части:
$\begin{cases} x(x - 6) = -9 \\ -y(x - 6) = 21 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:
$x^2 - 6x = -9$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
$x = 3$.

Подставим $x = 3$ во второе уравнение:
$-y(3 - 6) = 21$
$-y(-3) = 21$
$3y = 21$
$y = 7$.

Таким образом, $z = x + yi = 3 + 7i$.

Ответ: $z = 3 + 7i$.

г) $\bar{z}(\text{Im} z + 4) = 10 + 4i$

Пусть $z = x + yi$. Тогда $\bar{z} = x - yi$, а мнимая часть $\text{Im} z = y$.

Подставим выражения в уравнение:
$(x - yi)(y + 4) = 10 + 4i$.

Раскроем скобки:
$x(y + 4) - y(y + 4)i = 10 + 4i$.

Приравняем действительные и мнимые части:
$\begin{cases} x(y + 4) = 10 \\ -y(y + 4) = 4 \end{cases}$

Решим второе уравнение:
$-y^2 - 4y = 4$
$y^2 + 4y + 4 = 0$
$(y + 2)^2 = 0$
Отсюда $y = -2$.

Подставим $y = -2$ в первое уравнение:
$x(-2 + 4) = 10$
$2x = 10$
$x = 5$.

Таким образом, $z = x + yi = 5 - 2i$.

Ответ: $z = 5 - 2i$.