Номер 33.20, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

33.20. a) $z \operatorname{Re} z = 1;$

б) $z \operatorname{Re} z = -1;$

в) $z (\operatorname{Re} z)^2 = 1;$

г) $z (\operatorname{Re} z)^2 = -1.$

Для решения данных уравнений представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Действительная часть числа $z$ обозначается как $\text{Re } z = x$, а мнимая часть — $\text{Im } z = y$.

а) $z \text{Re } z = 1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x = 1$

$x^2 + i(xy) = 1$

Представим правую часть в виде комплексного числа: $1 = 1 + 0i$. Для равенства двух комплексных чисел их действительные и мнимые части должны быть соответственно равны. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 = 1 \\ xy = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 = 1$ находим $x = 1$ или $x = -1$.

Подставляем эти значения во второе уравнение $xy = 0$. Поскольку в обоих случаях $x \neq 0$, то из второго уравнения следует, что $y = 0$.

Таким образом, мы получаем два решения:

1. При $x = 1$ и $y = 0$, имеем $z = 1 + 0i = 1$.

2. При $x = -1$ и $y = 0$, имеем $z = -1 + 0i = -1$.

Ответ: $z=1; z=-1$.

б) $z \text{Re } z = -1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x = -1$

$x^2 + i(xy) = -1 + 0i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 = -1 \\ xy = 0 \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 = -1$ не имеет решений в множестве действительных чисел, так как $x = \text{Re } z$ — это действительное число, а квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система уравнений не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) $z (\text{Re } z)^2 = 1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x^2 = 1$

$x^3 + i(x^2y) = 1 + 0i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^3 = 1 \\ x^2y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^3 = 1$ находим единственное действительное решение $x = 1$.

Подставим $x=1$ во второе уравнение: $1^2 \cdot y = 0$, откуда $y = 0$.

Таким образом, единственное решение — это $z = 1 + 0i = 1$.

Ответ: $z=1$.

г) $z (\text{Re } z)^2 = -1$

Подставим $z = x + iy$ и $\text{Re } z = x$ в уравнение:

$(x + iy) \cdot x^2 = -1$

$x^3 + i(x^2y) = -1 + 0i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^3 = -1 \\ x^2y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^3 = -1$ находим единственное действительное решение $x = -1$.

Подставим $x=-1$ во второе уравнение: $(-1)^2 \cdot y = 0$, то есть $1 \cdot y = 0$, откуда $y = 0$.

Таким образом, единственное решение — это $z = -1 + 0i = -1$.

Ответ: $z=-1$.