Номер 33.16, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.16. а) Изобразите на координатной плоскости числа $z_1 = -3 + i$ и $z_2 = 5 + 2i$.

б) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $az_1 + z_2$ — чисто мнимое число.

в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел $az_1$ и $z_2$ из пункта б).

г) Найдите действительный коэффициент $a$, при котором $az_1 + z_2$ — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел $az_1$ и $z_2$.

а) Каждому комплексному числу $z = x + yi$ соответствует точка $(x, y)$ на координатной плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Действительная часть $x$ откладывается по оси абсцисс (ось $Re$), а мнимая часть $y$ — по оси ординат (ось $Im$).

Для числа $z_1 = -3 + i$ действительная часть $x_1 = -3$, а мнимая часть $y_1 = 1$. Этому числу соответствует точка с координатами $(-3, 1)$.

Для числа $z_2 = 5 + 2i$ действительная часть $x_2 = 5$, а мнимая часть $y_2 = 2$. Этому числу соответствует точка с координатами $(5, 2)$.

Изобразим эти точки и соответствующие им векторы на комплексной плоскости:

Ответ: Комплексному числу $z_1 = -3 + i$ соответствует точка $(-3, 1)$, а числу $z_2 = 5 + 2i$ — точка $(5, 2)$. Графическое представление показано на рисунке выше.

б) Чтобы найти действительный коэффициент $a$, при котором число $az_1 + z_2$ является чисто мнимым, нужно, чтобы его действительная часть равнялась нулю.

Сначала вычислим выражение $az_1 + z_2$:

$az_1 + z_2 = a(-3 + i) + (5 + 2i) = -3a + ai + 5 + 2i$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$az_1 + z_2 = (-3a + 5) + (a + 2)i$

Действительная часть этого числа $Re(az_1 + z_2) = -3a + 5$. Приравняем ее к нулю:

$-3a + 5 = 0$

$-3a = -5$

$a = \frac{5}{3}$

Ответ: $a = \frac{5}{3}$.

в) По правилу параллелограмма построим сумму чисел $az_1$ и $z_2$ при $a = \frac{5}{3}$.

Сначала найдем число $az_1$:

$az_1 = \frac{5}{3}(-3 + i) = -5 + \frac{5}{3}i$

Теперь нам нужно сложить два вектора: $az_1$, соответствующий точке $(-5, \frac{5}{3})$, и $z_2$, соответствующий точке $(5, 2)$.

Их сумма: $S_1 = az_1 + z_2 = (-5 + \frac{5}{3}i) + (5 + 2i) = (-5+5) + (\frac{5}{3} + 2)i = 0 + \frac{11}{3}i$.

Для построения по правилу параллелограмма отложим от начала координат векторы $az_1$ и $z_2$. Затем через конец вектора $az_1$ проведем вектор, равный вектору $z_2$, а через конец вектора $z_2$ — вектор, равный $az_1$. Диагональ полученного параллелограмма, исходящая из начала координат, и будет вектором суммы.

Ответ: Сумма $az_1 + z_2 = \frac{11}{3}i$. Построение по правилу параллелограмма показано на рисунке.

г) Чтобы найти действительный коэффициент $a$, при котором число $az_1 + z_2$ является действительным, нужно, чтобы его мнимая часть равнялась нулю.

Воспользуемся выражением из пункта б): $az_1 + z_2 = (-3a + 5) + (a + 2)i$.

Мнимая часть этого числа $Im(az_1 + z_2) = a + 2$. Приравняем ее к нулю:

$a + 2 = 0$

$a = -2$

Теперь построим сумму по правилу параллелограмма для $a = -2$.

Найдем $az_1$: $az_1 = -2(-3 + i) = 6 - 2i$.

Нужно сложить векторы $az_1$, соответствующий точке $(6, -2)$, и $z_2$, соответствующий точке $(5, 2)$.

Их сумма: $S_2 = az_1 + z_2 = (6 - 2i) + (5 + 2i) = (6+5) + (-2+2)i = 11$.

Построение аналогично предыдущему пункту.

Ответ: $a = -2$. Сумма $az_1 + z_2 = 11$. Построение по правилу параллелограмма показано на рисунке.