Номер 33.9, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.9. а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_0 = 1, z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, z_2 = z_1^2,$

$z_3 = z_1^3, z_4 = z_1^4, z_5 = z_1^5.$

б) Чему равна величина угла: $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_5Oz_0?`$

в) На каком расстоянии от начала координат находятся все эти точки?

г) Перечислите все пары точек, соответствующих сопряжённым друг другу числам. Сколько таких пар?

Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел z, у которых:

а) Для того чтобы отметить точки на координатной плоскости, найдем их координаты. Для этого вычислим значения комплексных чисел $z_2, z_3, z_4, z_5$. Удобно представить число $z_1$ в тригонометрической или показательной форме.

Дано комплексное число $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем его модуль $r$ и аргумент $\phi$:

$r = |z_1| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

$\cos\phi = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда аргумент $\phi = \frac{\pi}{3}$ или $60^\circ$.

Таким образом, в показательной форме $z_1 = e^{i\pi/3}$.

Теперь можем вычислить остальные числа, используя формулу Муавра $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$:

• $z_0 = 1$. Это точка с координатами $(1, 0)$.
• $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2 = z_1^2 = (e^{i\pi/3})^2 = e^{i2\pi/3} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_3 = z_1^3 = (e^{i\pi/3})^3 = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$. Это точка с координатами $(-1, 0)$.
• $z_4 = z_1^4 = (e^{i\pi/3})^4 = e^{i4\pi/3} = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_5 = z_1^5 = (e^{i\pi/3})^5 = e^{i5\pi/3} = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Заметим, что $z_1^6 = (e^{i\pi/3})^6 = e^{i2\pi} = 1 = z_0$. Эти 6 точек являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат.

Ответ: Точки, соответствующие данным комплексным числам, имеют следующие координаты на плоскости $(x, y)$: $z_0 \to (1, 0)$, $z_1 \to (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $z_2 \to (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $z_3 \to (-1, 0)$, $z_4 \to (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $z_5 \to (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б) Угол $\angle z_k O z_m$ (где $O$ - начало координат) равен разности аргументов комплексных чисел $z_m$ и $z_k$. Аргументы наших чисел:

$\arg(z_0) = 0$

$\arg(z_1) = \frac{\pi}{3}$

$\arg(z_2) = \frac{2\pi}{3}$

$\arg(z_3) = \pi$

$\arg(z_4) = \frac{4\pi}{3}$

$\arg(z_5) = \frac{5\pi}{3}$

Вычислим величины углов:

$\angle z_0Oz_1 = \arg(z_1) - \arg(z_0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_1Oz_2 = \arg(z_2) - \arg(z_1) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_2Oz_3 = \arg(z_3) - \arg(z_2) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_3Oz_4 = \arg(z_4) - \arg(z_3) = \frac{4\pi}{3} - \pi = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_4Oz_5 = \arg(z_5) - \arg(z_4) = \frac{5\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Для последнего угла $\angle z_5Oz_0$ можно считать, что аргумент $z_0$ равен $2\pi$ (полный оборот). Тогда $\angle z_5Oz_0 = 2\pi - \arg(z_5) = 2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Все углы между соседними векторами, проведенными из начала координат к точкам, равны.

Ответ: Величина каждого из углов $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_5Oz_0$ равна $\frac{\pi}{3}$ радиан или $60^\circ$.

в) Расстояние от начала координат до точки, соответствующей комплексному числу $z$, равно модулю этого числа $|z|$.

Для $z_0=1$, расстояние равно $|z_0| = |1| = 1$.

Для остальных точек мы используем свойство модуля $|z^n| = |z|^n$.

Мы уже вычислили, что $|z_1|=1$.

Тогда:

$|z_2| = |z_1^2| = |z_1|^2 = 1^2 = 1$.

$|z_3| = |z_1^3| = |z_1|^3 = 1^3 = 1$.

$|z_4| = |z_1^4| = |z_1|^4 = 1^4 = 1$.

$|z_5| = |z_1^5| = |z_1|^5 = 1^5 = 1$.

Все точки находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

Ответ: Все эти точки находятся на расстоянии 1 от начала координат.

г) Комплексно сопряженным к числу $z = a + bi$ является число $\bar{z} = a - bi$. Геометрически точки, соответствующие сопряженным числам, симметричны относительно действительной оси (оси Ox).

Выпишем наши числа:

$z_0 = 1$

$z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_3 = -1$

$z_4 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_5 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем сопряженные пары:

• Сопряженным к $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ является $\bar{z_1} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$, что совпадает с $z_5$. Таким образом, $(z_1, z_5)$ - сопряженная пара.
• Сопряженным к $z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ является $\bar{z_2} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$, что совпадает с $z_4$. Таким образом, $(z_2, z_4)$ - сопряженная пара.
• Числа $z_0 = 1$ и $z_3 = -1$ являются действительными, поэтому они сопряжены сами себе ($\bar{z_0} = z_0$, $\bar{z_3} = z_3$). Они не образуют пар из различных точек.

Следовательно, есть две пары точек, соответствующих сопряженным друг другу числам.

Ответ: Пары точек: $(z_1, z_5)$ и $(z_2, z_4)$. Всего таких пар 2.