Номер 33.4, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.4. а) Действительная часть равна -2;

б) мнимая часть равна 3 или 4;

в) $Re z = Im z$;

г) $Re z = (Im z)^2$.

а) Действительная часть равна -2;

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Условие, что действительная часть равна -2, записывается в виде уравнения $\text{Re } z = -2$. Подставляя $x = \text{Re } z$, получаем уравнение $x = -2$.

На координатной плоскости уравнение $x = -2$ задает вертикальную прямую, которая параллельна мнимой оси (оси $Oy$) и проходит через точку $(-2, 0)$ на действительной оси. Все точки на этой прямой имеют действительную координату, равную -2.

Ответ: Вертикальная прямая, заданная уравнением $x = -2$.

б) мнимая часть равна 3 или 4;

Пусть $z = x + iy$. Условие, что мнимая часть равна 3 или 4, можно записать как $\text{Im } z = 3$ или $\text{Im } z = 4$.

Подставляя $y = \text{Im } z$, получаем два уравнения: $y = 3$ и $y = 4$.

Каждое из этих уравнений задает на комплексной плоскости горизонтальную прямую, параллельную действительной оси (оси $Ox$). Прямая $y = 3$ проходит через точку $(0, 3i)$ на мнимой оси, а прямая $y = 4$ — через точку $(0, 4i)$. Искомое множество точек является объединением этих двух прямых.

Ответ: Две горизонтальные прямые, заданные уравнениями $y = 3$ и $y = 4$.

в) Re z = Im z;

Пусть $z = x + iy$. Условие $\text{Re } z = \text{Im } z$ означает, что действительная и мнимая части комплексного числа равны.

В координатах $(x, y)$ это условие записывается как $x = y$.

Уравнение $y = x$ задает на плоскости прямую, проходящую через начало координат $(0, 0)$ под углом $45^\circ$ к положительному направлению действительной оси. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = x$.

г) Re z = (Im z)?;

Пусть $z = x + iy$. Условие $\text{Re } z = (\text{Im } z)^2$ означает, что действительная часть числа равна квадрату его мнимой части.

В координатах $(x, y)$ это условие записывается как $x = y^2$.

Это каноническое уравнение параболы. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$. Осью симметрии параболы является действительная ось ($Ox$), а ее ветви направлены вправо (в сторону положительных значений $x$).

Ответ: Парабола, заданная уравнением $x = y^2$.