Номер 33.5, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

o33.5. a) $Re z = 4$ или $Im z = 4$;

б) $|Re z| = |Im z|$;

в) $Re z = 5$ или $Im z = 4$;

г) $Re z = (Im z)^2$ или $(Re z)^2 = Im z$.

а) $\operatorname{Re} z = 4$ или $\operatorname{Im} z = 4$

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \operatorname{Re} z$ - его действительная часть, а $y = \operatorname{Im} z$ - его мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Условие $\operatorname{Re} z = 4$ задает все точки, у которых действительная часть равна 4. На комплексной плоскости это соответствует уравнению $x = 4$. Геометрически это вертикальная прямая, параллельная мнимой оси (оси Oy) и проходящая через точку $(4, 0)$.

Условие $\operatorname{Im} z = 4$ задает все точки, у которых мнимая часть равна 4. На комплексной плоскости это соответствует уравнению $y = 4$. Геометрически это горизонтальная прямая, параллельная действительной оси (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 4)$.

Союз "или" означает, что искомое множество точек является объединением множеств, удовлетворяющих каждому из условий. Таким образом, это совокупность двух прямых: $x=4$ и $y=4$. Эти прямые пересекаются в точке $(4, 4)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой пару перпендикулярных прямых на комплексной плоскости, заданных уравнениями $x=4$ и $y=4$.

б) $|\operatorname{Re} z| = |\operatorname{Im} z|$

Пусть $z = x + iy$. Тогда условие задачи можно записать в виде $|x| = |y|$.

Это равенство эквивалентно совокупности двух уравнений: $x = y$ и $x = -y$.

Уравнение $y=x$ задает на комплексной плоскости прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Уравнение $y=-x$ задает на комплексной плоскости прямую, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Искомое множество точек является объединением этих двух прямых.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой пару прямых, являющихся биссектрисами координатных углов, заданных уравнениями $y=x$ и $y=-x$.

в) $\operatorname{Re} z = 5$ или $\operatorname{Im} z = 4$

Аналогично пункту а), пусть $z = x + iy$. Тогда условия задачи можно записать как $x=5$ или $y=4$.

Уравнение $x=5$ задает на комплексной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(5, 0)$.

Уравнение $y=4$ задает на комплексной плоскости горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, 4)$.

Искомое множество точек является объединением этих двух прямых. Прямые пересекаются в точке, соответствующей комплексному числу $z = 5 + 4i$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой пару перпендикулярных прямых на комплексной плоскости, заданных уравнениями $x=5$ и $y=4$.

г) $\operatorname{Re} z = (\operatorname{Im} z)^2$ или $(\operatorname{Re} z)^2 = \operatorname{Im} z$

Пусть $z = x + iy$. Тогда условия задачи можно записать как $x = y^2$ или $y = x^2$.

Уравнение $x = y^2$ задает параболу, симметричную относительно действительной оси (оси Ox), с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо.

Уравнение $y = x^2$ задает параболу, симметричную относительно мнимой оси (оси Oy), с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Искомое множество точек является объединением этих двух парабол. Они пересекаются в точках, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям. Подставив $y=x^2$ в первое уравнение, получим $x = (x^2)^2 = x^4$. Отсюда $x^4 - x = 0$, или $x(x^3-1)=0$. Решениями являются $x=0$ и $x=1$. Если $x=0$, то $y=0$. Если $x=1$, то $y=1$. Таким образом, параболы пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой объединение двух парабол: параболы $x = y^2$ (симметричной относительно действительной оси) и параболы $y = x^2$ (симметричной относительно мнимой оси).