Номер 33.10, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.10. а) Действительная часть больше мнимой части ($Re(z) > Im(z)$);

б) мнимая часть не меньше действительной части ($Im(z) \ge Re(z)$);

в) мнимая часть больше 2 ($Im(z) > 2$), а действительная часть не больше 3 ($Re(z) \le 3$);

г) мнимая часть не меньше 2 ($Im(z) \ge 2$), а действительная часть меньше 3 ($Re(z) < 3$).

а) Действительная часть больше мнимой части;

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re}(z)$ — его действительная часть, а $y = \text{Im}(z)$ — его мнимая часть. На комплексной плоскости действительной части $x$ соответствует ось абсцисс, а мнимой части $y$ — ось ординат.

Условие "действительная часть больше мнимой части" математически записывается в виде неравенства: $x > y$, что эквивалентно $y < x$.

Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости. Границей этой области является прямая, заданная уравнением $y = x$. Эта прямая проходит через начало координат и является биссектрисой I и III координатных углов. Неравенство $y < x$ описывает все точки, которые лежат ниже этой прямой. Так как неравенство строгое, точки на самой прямой $y=x$ не входят в искомое множество.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, расположенная под прямой $y=x$.

б) мнимая часть не меньше действительной части;

Для комплексного числа $z = x + iy$ условие "мнимая часть не меньше действительной части" означает, что мнимая часть больше или равна действительной части.

Это условие записывается в виде неравенства: $y \ge x$.

Границей этой области также является прямая $y = x$. Неравенство $y \ge x$ задает все точки, которые лежат на этой прямой или выше неё. Поскольку неравенство нестрогое, сама прямая $y=x$ включается в искомое множество.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутая полуплоскость, включающая прямую $y=x$ и все точки над ней.

в) мнимая часть больше 2, а действительная часть не больше 3;

Для комплексного числа $z = x + iy$ данные условия можно записать в виде системы двух неравенств:

1. Мнимая часть больше 2: $y > 2$.

2. Действительная часть не больше 3 (то есть меньше или равна 3): $x \le 3$.

Искомое множество точек на комплексной плоскости должно удовлетворять обоим неравенствам одновременно, что образует систему: $$ \begin{cases} y > 2 \\ x \le 3 \end{cases} $$

Неравенство $y > 2$ задает открытую полуплоскость, расположенную строго выше горизонтальной прямой $y=2$.

Неравенство $x \le 3$ задает замкнутую полуплоскость, расположенную левее вертикальной прямой $x=3$, включая саму прямую.

Искомое множество является пересечением этих двух полуплоскостей. Это бесконечная область, ограниченная снизу прямой $y=2$ (не включая ее) и справа прямой $x=3$ (включая ее). Вершина угла, точка $(3, 2)$, не принадлежит множеству, так как для нее не выполняется строгое неравенство $y > 2$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств $ \begin{cases} y > 2 \\ x \le 3 \end{cases} $.

г) мнимая часть не меньше 2, а действительная часть меньше 3.

Для комплексного числа $z = x + iy$ данные условия записываются в виде следующей системы неравенств:

1. Мнимая часть не меньше 2 (то есть больше или равна 2): $y \ge 2$.

2. Действительная часть меньше 3: $x < 3$.

Таким образом, искомое множество точек на комплексной плоскости определяется системой: $$ \begin{cases} y \ge 2 \\ x < 3 \end{cases} $$

Неравенство $y \ge 2$ задает замкнутую полуплоскость, включающую горизонтальную прямую $y=2$ и все точки над ней.

Неравенство $x < 3$ задает открытую полуплоскость, расположенную строго левее вертикальной прямой $x=3$.

Искомое множество является пересечением этих двух областей. Это бесконечная область, ограниченная снизу прямой $y=2$ (включая ее) и справа прямой $x=3$ (не включая ее). Вершина угла, точка $(3, 2)$, не принадлежит множеству, так как для нее не выполняется строгое неравенство $x < 3$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств $ \begin{cases} y \ge 2 \\ x < 3 \end{cases} $.