Страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.6. a) Действительная часть на 4 больше мнимой части;

б) сумма действительной и мнимой частей равна 4;

в) сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4;

г) квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4.

а) Пусть комплексное число имеет вид $z = x + iy$, где $x$ — действительная часть, а $y$ — мнимая часть. Условие «Действительная часть на 4 больше мнимой части» можно записать в виде уравнения: $x = y + 4$. Это уравнение можно преобразовать к виду $y = x - 4$. На комплексной плоскости это уравнение задает прямую линию с угловым коэффициентом 1 и пересечением с осью OY в точке (0, -4).
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой прямую, заданную уравнением $y = x - 4$.

б) Пусть комплексное число имеет вид $z = x + iy$. Условие «сумма действительной и мнимой частей равна 4» записывается как: $x + y = 4$. Это уравнение можно преобразовать к виду $y = -x + 4$. На комплексной плоскости это уравнение задает прямую линию с угловым коэффициентом -1 и пересечением с осью OY в точке (0, 4).
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой прямую, заданную уравнением $x + y = 4$.

в) Пусть комплексное число имеет вид $z = x + iy$. Условие «сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4» записывается как: $x^2 + y^2 = 4$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Также стоит отметить, что $x^2 + y^2$ является квадратом модуля комплексного числа $|z|^2$. Таким образом, условие можно записать как $|z|^2 = 4$, или $|z| = 2$.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 2, заданную уравнением $x^2 + y^2 = 4$.

г) Пусть комплексное число имеет вид $z = x + iy$. Условие «квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4» записывается как: $(x + y)^2 = 4$. Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая: 1. $x + y = 2$, что эквивалентно $y = -x + 2$. 2. $x + y = -2$, что эквивалентно $y = -x - 2$. Эти два уравнения задают пару параллельных прямых на комплексной плоскости.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой пару параллельных прямых, заданных уравнениями $x + y = 2$ и $x + y = -2$.

33.7. a) $ |Re z| - |Im z| = 1; $

б) $ (Re z)^2 = Im z + 1; $

в) $ (Re z)^2 = Im z - 1; $

г) $ (Re z)(Im z) = 1. $

Для решения данных задач представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. Геометрически комплексное число $z$ изображается точкой с координатами $(x, y)$ на комплексной плоскости.

а) $|\text{Re } z| - |\text{Im } z| = 1$

Подставим $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$|x| - |y| = 1$.

Это уравнение задает на комплексной плоскости (эквивалентной координатной плоскости $Oxy$) множество точек, удовлетворяющих данному условию. Выразим $|y|$:

$|y| = |x| - 1$.

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, т.е. $|y| \ge 0$, то должно выполняться условие $|x| - 1 \ge 0$, что эквивалентно $|x| \ge 1$. Это означает, что $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 1$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $|y| = x - 1$. Раскрывая модуль $y$, получаем два уравнения: $y = x - 1$ и $y = -(x - 1) = -x + 1$. Геометрически это два луча, исходящие из точки $(1, 0)$, с угловыми коэффициентами $1$ и $-1$.
2. Если $x \le -1$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $|y| = -x - 1$. Раскрывая модуль $y$, получаем два уравнения: $y = -x - 1$ и $y = -(-x - 1) = x + 1$. Геометрически это два луча, исходящие из точки $(-1, 0)$, с угловыми коэффициентами $-1$ и $1$.

Таким образом, искомое множество точек представляет собой объединение четырех лучей.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, заданное уравнением, представляет собой объединение лучей, являющихся частями прямых $y = x - 1$ и $y = -x + 1$ при $x \ge 1$, и частями прямых $y = x + 1$ и $y = -x - 1$ при $x \le -1$.

б) $(\text{Re } z)^2 = \text{Im } z + 1$

Подставляем $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$x^2 = y + 1$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = x^2 - 1$.

Это уравнение параболы на координатной плоскости $Oxy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$, а ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точках, где $y=0$, то есть $x^2 - 1 = 0$, откуда $x = \pm 1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости является параболой, заданной уравнением $y = x^2 - 1$, где $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$.

в) $(\text{Re } z)^2 = \text{Im } z - 1$

Подставляем $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$x^2 = y - 1$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = x^2 + 1$.

Это уравнение параболы на координатной плоскости $Oxy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$, а ветви направлены вверх. Поскольку $x^2 + 1 \ge 1$ для любого действительного $x$, парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$). Она пересекает ось ординат ($Oy$) в своей вершине $(0, 1)$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости является параболой, заданной уравнением $y = x^2 + 1$, где $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$.

г) $(\text{Re } z)(\text{Im } z) = 1$

Подставляем $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$ в уравнение:

$xy = 1$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{1}{x}$.

Это уравнение равнобочной гиперболы на координатной плоскости $Oxy$. Асимптотами гиперболы являются координатные оси $x=0$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных квадрантах.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости является гиперболой, заданной уравнением $y = 1/x$, где $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$.

33.8. a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_0 = 1, z_1 = 1 + i, z_2 = (1 + i)^2, z_3 = (1 + i)^3, \ldots, z_7 = (1 + i)^7$.

б) Чему равна величина угла: $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \ldots, \angle z_6Oz_7, \angle z_7Oz_0$?

в) Перечислите все пары точек, лежащие по разные стороны от оси абсцисс. Сколько таких пар?

г) Запишите все числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно. Сколько таких чисел?

а) Чтобы отметить на координатной плоскости точки, соответствующие заданным комплексным числам, необходимо найти их действительные ($Re$) и мнимые ($Im$) части. Комплексное число $z = x + iy$ соответствует точке с координатами $(x, y)$.

Вычислим значения $z_k = (1 + i)^k$ для $k$ от 0 до 7:

• $z_0 = (1 + i)^0 = 1$. Точка $Z_0$ имеет координаты $(1, 0)$.
• $z_1 = (1 + i)^1 = 1 + i$. Точка $Z_1$ имеет координаты $(1, 1)$.
• $z_2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$. Точка $Z_2$ имеет координаты $(0, 2)$.
• $z_3 = (1 + i)^3 = z_2 \cdot (1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$. Точка $Z_3$ имеет координаты $(-2, 2)$.
• $z_4 = (1 + i)^4 = (z_2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка $Z_4$ имеет координаты $(-4, 0)$.
• $z_5 = (1 + i)^5 = z_4 \cdot (1 + i) = -4(1 + i) = -4 - 4i$. Точка $Z_5$ имеет координаты $(-4, -4)$.
• $z_6 = (1 + i)^6 = z_4 \cdot z_2 = -4 \cdot 2i = -8i$. Точка $Z_6$ имеет координаты $(0, -8)$.
• $z_7 = (1 + i)^7 = z_6 \cdot (1 + i) = -8i(1 + i) = -8i - 8i^2 = 8 - 8i$. Точка $Z_7$ имеет координаты $(8, -8)$.

Для построения графика на координатной плоскости (ось абсцисс - действительная ось, ось ординат - мнимая ось) нужно отметить точки с полученными координатами.

Ответ: Точки, соответствующие данным комплексным числам, имеют следующие координаты на комплексной плоскости: $Z_0(1, 0)$, $Z_1(1, 1)$, $Z_2(0, 2)$, $Z_3(-2, 2)$, $Z_4(-4, 0)$, $Z_5(-4, -4)$, $Z_6(0, -8)$, $Z_7(8, -8)$.

б) Угол $\angle z_k O z_m$ между векторами, проведенными из начала координат $O$ к точкам, соответствующим комплексным числам $z_k$ и $z_m$, равен аргументу их частного: $\arg(z_m/z_k)$.

Для углов $\angle z_k O z_{k+1}$ (где $k$ от 0 до 6) частное равно:

$z_{k+1} / z_k = (1+i)^{k+1} / (1+i)^k = 1+i$.

Аргумент комплексного числа $1+i$ равен $\arg(1+i) = \arctan(1/1) = \pi/4$ радиан или $45^\circ$. Таким образом, все углы $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_6Oz_7$ равны $\pi/4$.

Для последнего угла $\angle z_7 O z_0$ рассмотрим частное $z_0/z_7$:

$z_0 / z_7 = 1 / (8 - 8i) = \frac{1}{8(1-i)} = \frac{1 \cdot (1+i)}{8(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{8(1-i^2)} = \frac{1+i}{8(1-(-1))} = \frac{1+i}{16}$.

Аргумент этого числа $\arg(\frac{1+i}{16}) = \arg(1+i) = \pi/4$ радиан или $45^\circ$.

Следовательно, все указанные углы равны.

Ответ: Величина каждого из углов $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_6Oz_7, \angle z_7Oz_0$ равна $\pi/4$ радиан или $45^\circ$.

в) Точки лежат по разные стороны от оси абсцисс (действительной оси), если их мнимые части имеют разные знаки. Точки, лежащие на самой оси, не рассматриваются.

Найдем мнимые части ($Im(z)$) для каждого числа:

• $Im(z_0) = 0$ (на оси)
• $Im(z_1) = 1 > 0$
• $Im(z_2) = 2 > 0$
• $Im(z_3) = 2 > 0$
• $Im(z_4) = 0$ (на оси)
• $Im(z_5) = -4 < 0$
• $Im(z_6) = -8 < 0$
• $Im(z_7) = -8 < 0$

Группа точек с положительной мнимой частью (выше оси абсцисс): $Z_1, Z_2, Z_3$ (3 точки).

Группа точек с отрицательной мнимой частью (ниже оси абсцисс): $Z_5, Z_6, Z_7$ (3 точки).

Чтобы составить пару, нужно взять одну точку из первой группы и одну из второй. Количество таких пар равно $3 \times 3 = 9$.

Перечислим все пары:

$(Z_1, Z_5), (Z_1, Z_6), (Z_1, Z_7)$

$(Z_2, Z_5), (Z_2, Z_6), (Z_2, Z_7)$

$(Z_3, Z_5), (Z_3, Z_6), (Z_3, Z_7)$

Ответ: Существует 9 таких пар: $(Z_1, Z_5), (Z_1, Z_6), (Z_1, Z_7), (Z_2, Z_5), (Z_2, Z_6), (Z_2, Z_7), (Z_3, Z_5), (Z_3, Z_6), (Z_3, Z_7)$.

г) Произведение действительной ($x_k$) и мнимой ($y_k$) частей комплексного числа $z_k = x_k + iy_k$ отрицательно, если $x_k \cdot y_k < 0$. Это означает, что $x_k$ и $y_k$ должны иметь разные знаки. Такие точки находятся во II или IV координатных четвертях.

Проверим это условие для каждого числа:

• $z_0 = 1 + 0i \implies 1 \cdot 0 = 0$
• $z_1 = 1 + 1i \implies 1 \cdot 1 = 1 > 0$
• $z_2 = 0 + 2i \implies 0 \cdot 2 = 0$
• $z_3 = -2 + 2i \implies (-2) \cdot 2 = -4 < 0$ (условие выполняется)
• $z_4 = -4 + 0i \implies (-4) \cdot 0 = 0$
• $z_5 = -4 - 4i \implies (-4) \cdot (-4) = 16 > 0$
• $z_6 = 0 - 8i \implies 0 \cdot (-8) = 0$
• $z_7 = 8 - 8i \implies 8 \cdot (-8) = -64 < 0$ (условие выполняется)

Условию удовлетворяют два числа: $z_3$ и $z_7$.

Ответ: Числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно: $z_3 = -2 + 2i$ и $z_7 = 8 - 8i$. Всего таких чисел 2.

33.9. а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_0 = 1, z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, z_2 = z_1^2,$

$z_3 = z_1^3, z_4 = z_1^4, z_5 = z_1^5.$

б) Чему равна величина угла: $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_5Oz_0?`$

в) На каком расстоянии от начала координат находятся все эти точки?

г) Перечислите все пары точек, соответствующих сопряжённым друг другу числам. Сколько таких пар?

Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел z, у которых:

а) Для того чтобы отметить точки на координатной плоскости, найдем их координаты. Для этого вычислим значения комплексных чисел $z_2, z_3, z_4, z_5$. Удобно представить число $z_1$ в тригонометрической или показательной форме.

Дано комплексное число $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем его модуль $r$ и аргумент $\phi$:

$r = |z_1| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

$\cos\phi = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда аргумент $\phi = \frac{\pi}{3}$ или $60^\circ$.

Таким образом, в показательной форме $z_1 = e^{i\pi/3}$.

Теперь можем вычислить остальные числа, используя формулу Муавра $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$:

• $z_0 = 1$. Это точка с координатами $(1, 0)$.
• $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_2 = z_1^2 = (e^{i\pi/3})^2 = e^{i2\pi/3} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_3 = z_1^3 = (e^{i\pi/3})^3 = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$. Это точка с координатами $(-1, 0)$.
• $z_4 = z_1^4 = (e^{i\pi/3})^4 = e^{i4\pi/3} = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
• $z_5 = z_1^5 = (e^{i\pi/3})^5 = e^{i5\pi/3} = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это точка с координатами $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Заметим, что $z_1^6 = (e^{i\pi/3})^6 = e^{i2\pi} = 1 = z_0$. Эти 6 точек являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат.

Ответ: Точки, соответствующие данным комплексным числам, имеют следующие координаты на плоскости $(x, y)$: $z_0 \to (1, 0)$, $z_1 \to (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $z_2 \to (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $z_3 \to (-1, 0)$, $z_4 \to (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $z_5 \to (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б) Угол $\angle z_k O z_m$ (где $O$ - начало координат) равен разности аргументов комплексных чисел $z_m$ и $z_k$. Аргументы наших чисел:

$\arg(z_0) = 0$

$\arg(z_1) = \frac{\pi}{3}$

$\arg(z_2) = \frac{2\pi}{3}$

$\arg(z_3) = \pi$

$\arg(z_4) = \frac{4\pi}{3}$

$\arg(z_5) = \frac{5\pi}{3}$

Вычислим величины углов:

$\angle z_0Oz_1 = \arg(z_1) - \arg(z_0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_1Oz_2 = \arg(z_2) - \arg(z_1) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_2Oz_3 = \arg(z_3) - \arg(z_2) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_3Oz_4 = \arg(z_4) - \arg(z_3) = \frac{4\pi}{3} - \pi = \frac{\pi}{3}$.

$\angle z_4Oz_5 = \arg(z_5) - \arg(z_4) = \frac{5\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Для последнего угла $\angle z_5Oz_0$ можно считать, что аргумент $z_0$ равен $2\pi$ (полный оборот). Тогда $\angle z_5Oz_0 = 2\pi - \arg(z_5) = 2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Все углы между соседними векторами, проведенными из начала координат к точкам, равны.

Ответ: Величина каждого из углов $\angle z_0Oz_1, \angle z_1Oz_2, \dots, \angle z_5Oz_0$ равна $\frac{\pi}{3}$ радиан или $60^\circ$.

в) Расстояние от начала координат до точки, соответствующей комплексному числу $z$, равно модулю этого числа $|z|$.

Для $z_0=1$, расстояние равно $|z_0| = |1| = 1$.

Для остальных точек мы используем свойство модуля $|z^n| = |z|^n$.

Мы уже вычислили, что $|z_1|=1$.

Тогда:

$|z_2| = |z_1^2| = |z_1|^2 = 1^2 = 1$.

$|z_3| = |z_1^3| = |z_1|^3 = 1^3 = 1$.

$|z_4| = |z_1^4| = |z_1|^4 = 1^4 = 1$.

$|z_5| = |z_1^5| = |z_1|^5 = 1^5 = 1$.

Все точки находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

Ответ: Все эти точки находятся на расстоянии 1 от начала координат.

г) Комплексно сопряженным к числу $z = a + bi$ является число $\bar{z} = a - bi$. Геометрически точки, соответствующие сопряженным числам, симметричны относительно действительной оси (оси Ox).

Выпишем наши числа:

$z_0 = 1$

$z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_3 = -1$

$z_4 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_5 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем сопряженные пары:

• Сопряженным к $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ является $\bar{z_1} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$, что совпадает с $z_5$. Таким образом, $(z_1, z_5)$ - сопряженная пара.
• Сопряженным к $z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ является $\bar{z_2} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$, что совпадает с $z_4$. Таким образом, $(z_2, z_4)$ - сопряженная пара.
• Числа $z_0 = 1$ и $z_3 = -1$ являются действительными, поэтому они сопряжены сами себе ($\bar{z_0} = z_0$, $\bar{z_3} = z_3$). Они не образуют пар из различных точек.

Следовательно, есть две пары точек, соответствующих сопряженным друг другу числам.

Ответ: Пары точек: $(z_1, z_5)$ и $(z_2, z_4)$. Всего таких пар 2.

33.10. а) Действительная часть больше мнимой части ($Re(z) > Im(z)$);

б) мнимая часть не меньше действительной части ($Im(z) \ge Re(z)$);

в) мнимая часть больше 2 ($Im(z) > 2$), а действительная часть не больше 3 ($Re(z) \le 3$);

г) мнимая часть не меньше 2 ($Im(z) \ge 2$), а действительная часть меньше 3 ($Re(z) < 3$).

а) Действительная часть больше мнимой части;

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re}(z)$ — его действительная часть, а $y = \text{Im}(z)$ — его мнимая часть. На комплексной плоскости действительной части $x$ соответствует ось абсцисс, а мнимой части $y$ — ось ординат.

Условие "действительная часть больше мнимой части" математически записывается в виде неравенства: $x > y$, что эквивалентно $y < x$.

Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости. Границей этой области является прямая, заданная уравнением $y = x$. Эта прямая проходит через начало координат и является биссектрисой I и III координатных углов. Неравенство $y < x$ описывает все точки, которые лежат ниже этой прямой. Так как неравенство строгое, точки на самой прямой $y=x$ не входят в искомое множество.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, расположенная под прямой $y=x$.

б) мнимая часть не меньше действительной части;

Для комплексного числа $z = x + iy$ условие "мнимая часть не меньше действительной части" означает, что мнимая часть больше или равна действительной части.

Это условие записывается в виде неравенства: $y \ge x$.

Границей этой области также является прямая $y = x$. Неравенство $y \ge x$ задает все точки, которые лежат на этой прямой или выше неё. Поскольку неравенство нестрогое, сама прямая $y=x$ включается в искомое множество.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутая полуплоскость, включающая прямую $y=x$ и все точки над ней.

в) мнимая часть больше 2, а действительная часть не больше 3;

Для комплексного числа $z = x + iy$ данные условия можно записать в виде системы двух неравенств:

1. Мнимая часть больше 2: $y > 2$.

2. Действительная часть не больше 3 (то есть меньше или равна 3): $x \le 3$.

Искомое множество точек на комплексной плоскости должно удовлетворять обоим неравенствам одновременно, что образует систему: $$ \begin{cases} y > 2 \\ x \le 3 \end{cases} $$

Неравенство $y > 2$ задает открытую полуплоскость, расположенную строго выше горизонтальной прямой $y=2$.

Неравенство $x \le 3$ задает замкнутую полуплоскость, расположенную левее вертикальной прямой $x=3$, включая саму прямую.

Искомое множество является пересечением этих двух полуплоскостей. Это бесконечная область, ограниченная снизу прямой $y=2$ (не включая ее) и справа прямой $x=3$ (включая ее). Вершина угла, точка $(3, 2)$, не принадлежит множеству, так как для нее не выполняется строгое неравенство $y > 2$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств $ \begin{cases} y > 2 \\ x \le 3 \end{cases} $.

г) мнимая часть не меньше 2, а действительная часть меньше 3.

Для комплексного числа $z = x + iy$ данные условия записываются в виде следующей системы неравенств:

1. Мнимая часть не меньше 2 (то есть больше или равна 2): $y \ge 2$.

2. Действительная часть меньше 3: $x < 3$.

Таким образом, искомое множество точек на комплексной плоскости определяется системой: $$ \begin{cases} y \ge 2 \\ x < 3 \end{cases} $$

Неравенство $y \ge 2$ задает замкнутую полуплоскость, включающую горизонтальную прямую $y=2$ и все точки над ней.

Неравенство $x < 3$ задает открытую полуплоскость, расположенную строго левее вертикальной прямой $x=3$.

Искомое множество является пересечением этих двух областей. Это бесконечная область, ограниченная снизу прямой $y=2$ (включая ее) и справа прямой $x=3$ (не включая ее). Вершина угла, точка $(3, 2)$, не принадлежит множеству, так как для нее не выполняется строгое неравенство $x < 3$.

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств $ \begin{cases} y \ge 2 \\ x < 3 \end{cases} $.

33.11. a) $\operatorname{Im} z \ge 2$ или $\operatorname{Re} z < 3;$

б) $\operatorname{Im} z > 2$ или $\operatorname{Re} z \le 3;$

в) $\operatorname{Re} z > (\operatorname{Im} z)^2$ и $(\operatorname{Re} z)^2 > \operatorname{Im} z;$

г) $\operatorname{Im} z \ge 2 \operatorname{Re} z$ или $\operatorname{Re} z < 3 \operatorname{Im} z.$

а) Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ – его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ – мнимая часть. Условия задачи можно переписать в виде системы неравенств для координат $x$ и $y$ на комплексной плоскости.

Заданное условие: $\text{Im } z \ge 2$ или $\text{Re } z < 3$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как $y \ge 2$ или $x < 3$.

1. Неравенство $y \ge 2$ задает на комплексной плоскости верхнюю замкнутую полуплоскость. Это все точки, лежащие на горизонтальной прямой $y=2$ и выше неё.

2. Неравенство $x < 3$ задает левую открытую полуплоскость. Это все точки, лежащие строго левее вертикальной прямой $x=3$. Сама прямая в множество не входит.

Логическая связка "или" означает, что искомое множество является объединением двух указанных полуплоскостей. Это почти вся комплексная плоскость, за исключением области, где не выполняется ни одно из условий, то есть где одновременно $y < 2$ и $x \ge 3$.

Ответ: Объединение двух полуплоскостей: верхней замкнутой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Im } z \ge 2$ (граница $\text{Im } z = 2$ включена), и левой открытой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Re } z < 3$ (граница $\text{Re } z = 3$ не включена).

б) Заданное условие: $\text{Im } z > 2$ или $\text{Re } z \le 3$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как $y > 2$ или $x \le 3$.

1. Неравенство $y > 2$ задает верхнюю открытую полуплоскость. Это все точки, лежащие строго выше горизонтальной прямой $y=2$. Сама прямая в множество не входит.

2. Неравенство $x \le 3$ задает левую замкнутую полуплоскость. Это все точки, лежащие на вертикальной прямой $x=3$ и левее неё.

Искомое множество является объединением этих двух полуплоскостей. Это вся комплексная плоскость, за исключением области, где одновременно $y \le 2$ и $x > 3$.

Ответ: Объединение двух полуплоскостей: верхней открытой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Im } z > 2$ (граница $\text{Im } z = 2$ не включена), и левой замкнутой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Re } z \le 3$ (граница $\text{Re } z = 3$ включена).

в) Заданное условие: $\text{Re } z > (\text{Im } z)^2$ и $(\text{Re } z)^2 > \text{Im } z$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как система двух неравенств: $ \begin{cases} x > y^2 \\ x^2 > y \end{cases} $ или $ \begin{cases} x > y^2 \\ y < x^2 \end{cases} $

1. Неравенство $x > y^2$ задает множество точек, расположенных "внутри" (правее) параболы $x=y^2$. Эта парабола симметрична относительно оси $Ox$ и ее ветви направлены вправо. Граница (сама парабола) в множество не входит.

2. Неравенство $y < x^2$ задает множество точек, расположенных "под" параболой $y=x^2$. Эта парабола симметрична относительно оси $Oy$ и ее ветви направлены вверх. Граница (сама парабола) в множество не входит.

Логическая связка "и" означает, что искомое множество является пересечением двух указанных областей. Найдем точки пересечения парабол: $x=y^2$ и $y=x^2$. Подставив $y$ из второго уравнения в первое, получим $x=(x^2)^2 \Rightarrow x=x^4 \Rightarrow x(x^3-1)=0$. Решениями являются $x=0$ (тогда $y=0$) и $x=1$ (тогда $y=1$). Точки пересечения – $(0,0)$ и $(1,1)$.

Неравенство $x>y^2$ не имеет решений при $x \le 0$, так как $y^2$ всегда неотрицательно. Таким образом, вся искомая область лежит в правой полуплоскости ($x>0$).

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, которые одновременно находятся правее параболы $\text{Re } z = (\text{Im } z)^2$ и ниже параболы $\text{Im } z = (\text{Re } z)^2$. Границы областей, то есть сами параболы, в множество не входят.

г) Заданное условие: $\text{Im } z \ge 2\text{Re } z$ или $\text{Re } z < 3\text{Im } z$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как $y \ge 2x$ или $x < 3y$.

1. Неравенство $y \ge 2x$ задает замкнутую полуплоскость, границей которой является прямая $y=2x$. Эта полуплоскость содержит точки на прямой и над ней.

2. Неравенство $x < 3y$ можно переписать как $y > \frac{1}{3}x$. Оно задает открытую полуплоскость, лежащую строго выше прямой $y=\frac{1}{3}x$.

Искомое множество является объединением этих двух полуплоскостей. Граница итоговой области будет состоять из "нижних" участков границ исходных областей.

• При $x > 0$, имеем $2x > \frac{1}{3}x$. Менее строгим является условие $y > \frac{1}{3}x$, так как оно включает в себя область $y \ge 2x$. Таким образом, для $x>0$ решением является $y > \frac{1}{3}x$.
• При $x < 0$, имеем $2x < \frac{1}{3}x$. Менее строгим является условие $y \ge 2x$. Таким образом, для $x<0$ решением является $y \ge 2x$.
• При $x = 0$, условия превращаются в $y \ge 0$ или $0 < 3y \Rightarrow y > 0$. Объединение этих условий дает $y \ge 0$.

Таким образом, искомое множество – это область "над" ломаной линией, проходящей через начало координат.

Ответ: Множество точек, ограниченное снизу ломаной линией, которая состоит из луча прямой $\text{Im } z = 2\text{Re } z$ для $\text{Re } z \le 0$ (этот луч включается в множество) и луча прямой $\text{Re } z = 3\text{Im } z$ для $\text{Re } z > 0$ (этот луч не включается в множество).