Страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Число z задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму:

34.12. a) $z = \cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6}$;

б) $z = \cos \left(-\frac{13\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{13\pi}{6}\right)$;

в) $z = \cos \frac{99\pi}{4} + i \sin \frac{99\pi}{4}$;

г) $z = \cos \left(-\frac{103\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{103\pi}{6}\right)$.

Стандартная тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r \ge 0$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент, который, как правило, является главным значением и принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Для приведения заданных чисел к стандартной форме необходимо найти главное значение их аргументов. Это делается путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$) к исходному аргументу.

а) Дано комплексное число $z = \cos\frac{11\pi}{6} + i \sin\frac{11\pi}{6}$.

Модуль числа $r = 1$. Аргумент $\theta = \frac{11\pi}{6}$. Это значение не входит в промежуток $(-\pi, \pi]$. Чтобы найти главное значение аргумента $\varphi$, вычтем из $\theta$ период $2\pi$:

$\varphi = \frac{11\pi}{6} - 2\pi = \frac{11\pi - 12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Так как $-\pi < -\frac{\pi}{6} \le \pi$, это и есть главное значение аргумента.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

б) Дано комплексное число $z = \cos(-\frac{13\pi}{6}) + i \sin(-\frac{13\pi}{6})$.

Модуль $r = 1$. Аргумент $\theta = -\frac{13\pi}{6}$. Это значение не входит в промежуток $(-\pi, \pi]$. Чтобы найти главное значение аргумента $\varphi$, прибавим к $\theta$ период $2\pi$:

$\varphi = -\frac{13\pi}{6} + 2\pi = \frac{-13\pi + 12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Так как $-\pi < -\frac{\pi}{6} \le \pi$, это главное значение аргумента.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

в) Дано комплексное число $z = \cos\frac{99\pi}{4} + i \sin\frac{99\pi}{4}$.

Модуль $r = 1$. Аргумент $\theta = \frac{99\pi}{4}$. Чтобы найти главное значение, представим $\theta$ в виде $\theta = 2\pi k + \varphi$, где $\varphi \in (-\pi, \pi]$.

$\frac{99\pi}{4} = \frac{96\pi + 3\pi}{4} = \frac{96\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 24\pi + \frac{3\pi}{4} = 12 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{4}$.

Отбросив $12$ полных оборотов, получаем главное значение аргумента $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i \sin(\frac{3\pi}{4})$.

Ответ: $z = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i \sin(\frac{3\pi}{4})$.

г) Дано комплексное число $z = \cos(-\frac{103\pi}{6}) + i \sin(-\frac{103\pi}{6})$.

Модуль $r = 1$. Аргумент $\theta = -\frac{103\pi}{6}$. Найдем главное значение.

$-\frac{103\pi}{6} = -\frac{108\pi - 5\pi}{6} = -\frac{108\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = -18\pi + \frac{5\pi}{6} = -9 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{6}$.

Отбросив $-9$ полных оборотов, получаем главное значение аргумента $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Стандартная тригонометрическая форма:

$z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$.

34.13. a) $z = \cos (13,2\pi) + i \sin (13,2\pi);$

б) $z = \cos (-12,3\pi) + i \sin (-12,3\pi);$

в) $z = \cos (17 \arccos (-1)) + i \sin (17 \arccos (-1));$

г) $z = \cos (2 \arccos (-0,5)) + i \sin (2 \arccos (-0,5)).$

а) Исходное комплексное число имеет вид $z = \cos(13,2\pi) + i \sin(13,2\pi)$.
Аргумент комплексного числа равен $\varphi = 13,2\pi$. Используем периодичность тригонометрических функций с периодом $2\pi$. $13,2\pi = 12\pi + 1,2\pi = 6 \cdot 2\pi + 1,2\pi$.
Отбрасывая полные обороты ($6 \cdot 2\pi$), получаем: $z = \cos(1,2\pi) + i \sin(1,2\pi)$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,2\pi = \frac{12}{10}\pi = \frac{6\pi}{5}$.
Таким образом, $z = \cos(\frac{6\pi}{5}) + i \sin(\frac{6\pi}{5})$.
Для нахождения алгебраической формы используем формулы приведения. $\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}$.
$z = \cos(\pi + \frac{\pi}{5}) + i \sin(\pi + \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5}) - i \sin(\frac{\pi}{5})$.
Значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{5}$ (или $36^\circ$) известны: $\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ и $\sin(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{\frac{1-\cos(\frac{2\pi}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{2}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
Подставляем эти значения: $z = - \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right) - i \left( \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \right)$.
Ответ: $z = -\frac{1+\sqrt{5}}{4} - i \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.

б) Дано комплексное число $z = \cos(-12,3\pi) + i \sin(-12,3\pi)$.
Используем свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$) и нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$): $z = \cos(12,3\pi) - i \sin(12,3\pi)$.
Упростим аргумент $12,3\pi$, используя периодичность: $12,3\pi = 12\pi + 0,3\pi = 6 \cdot 2\pi + 0,3\pi$.
$z = \cos(0,3\pi) - i \sin(0,3\pi)$.
Представим $0,3\pi$ в виде обыкновенной дроби: $0,3\pi = \frac{3\pi}{10}$. $z = \cos(\frac{3\pi}{10}) - i \sin(\frac{3\pi}{10})$.
Используем формулы приведения, заметив, что $\frac{3\pi}{10} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}$: $\cos(\frac{3\pi}{10}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{\pi}{5})$.
$\sin(\frac{3\pi}{10}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{\pi}{5})$.
Тогда $z = \sin(\frac{\pi}{5}) - i \cos(\frac{\pi}{5})$.
Подставим известные значения из пункта а): $\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ и $\sin(\frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
$z = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} - i \frac{1+\sqrt{5}}{4}$.
Ответ: $z = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} - i \frac{1+\sqrt{5}}{4}$.

в) Дано комплексное число $z = \cos(17 \arccos(-1)) + i \sin(17 \arccos(-1))$.
Найдем значение $\arccos(-1)$. По определению арккосинуса, это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этим углом является $\pi$. $\arccos(-1) = \pi$.
Подставляем это значение в исходное выражение: $z = \cos(17\pi) + i \sin(17\pi)$.
Упростим аргумент, используя периодичность: $17\pi = 16\pi + \pi = 8 \cdot 2\pi + \pi$.
$z = \cos(\pi) + i \sin(\pi)$.
Вычисляем значения косинуса и синуса: $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$. $z = -1 + i \cdot 0 = -1$.
Ответ: $z = -1$.

г) Дано комплексное число $z = \cos(2 \arccos(-0,5)) + i \sin(2 \arccos(-0,5))$.
Найдем значение $\arccos(-0,5) = \arccos(-\frac{1}{2})$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Так как $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, то искомый угол равен $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\arccos(-0,5) = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в выражение: $z = \cos(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) + i \sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3})$.
Для вычисления значений используем формулы приведения: $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$. $\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
$\sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдите аргумент комплексного числа:

34.14. a) $5i$;

б) $5,55$;

в) $-5,5i$;

г) $-5,555$.

Аргументом комплексного числа $z = x + yi$ называется угол $\phi$, который вектор, соответствующий этому числу на комплексной плоскости (с началом в точке $(0,0)$ и концом в точке $(x,y)$), образует с положительным направлением действительной оси. Главное значение аргумента, $\arg(z)$, обычно выбирается из промежутка $(-\pi, \pi]$. Для нахождения аргумента удобно представить число на комплексной плоскости.

а)

Рассмотрим комплексное число $z = 5i$. Это чисто мнимое число, у которого действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=5$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0; 5)$. Эта точка лежит на положительной части мнимой оси. Угол, образованный вектором из начала координат в точку $(0; 5)$ и положительным направлением действительной оси, равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б)

Рассмотрим комплексное число $z = 5,55$. Это действительное число. Его действительная часть $x=5,55$, а мнимая часть $y=0$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(5,55; 0)$. Эта точка лежит на положительной части действительной оси. Угол, образованный вектором из начала координат в эту точку и положительным направлением действительной оси, равен $0^\circ$ или $0$ радиан.

Ответ: $0$

в)

Рассмотрим комплексное число $z = -5,5i$. Это чисто мнимое число, у которого действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=-5,5$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0; -5,5)$. Эта точка лежит на отрицательной части мнимой оси. Угол, образованный вектором из начала координат в эту точку и положительным направлением действительной оси, равен $-90^\circ$ или $-\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

г)

Рассмотрим комплексное число $z = -5,555$. Это действительное число. Его действительная часть $x=-5,555$, а мнимая часть $y=0$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-5,555; 0)$. Эта точка лежит на отрицательной части действительной оси. Угол, образованный вектором из начала координат в эту точку и положительным направлением действительной оси, равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан.

Ответ: $\pi$

34.15. a) $2 - 2i$;

б) $(-\sqrt{3} + i)^2$;

B) $-3 + 3i$;

Г) $(-3 + 3i)^2$.

Для того чтобы представить комплексное число $z = 2 - 2i$ в тригонометрической и показательной форме, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\phi$.

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для $z = 2 - 2i$, где $a=2$ и $b=-2$: $r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Аргумент $\phi$ находится из системы уравнений: $\cos\phi = \frac{a}{r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\phi = \frac{b}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Точка $(2, -2)$ на комплексной плоскости находится в четвертой четверти, поэтому главный аргумент $\phi = -\frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма комплексного числа: $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$. $z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Показательная (экспоненциальная) форма: $z = re^{i\phi}$. $z = 2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$; Показательная форма: $2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Сначала раскроем скобки и приведем выражение $z = (-\sqrt{3} + i)^2$ к алгебраической форме $z = a+bi$, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. $z = (-\sqrt{3})^2 + 2(-\sqrt{3})(i) + i^2 = 3 - 2\sqrt{3}i - 1 = 2 - 2\sqrt{3}i$.

Теперь для числа $z = 2 - 2\sqrt{3}i$ (где $a=2, b=-2\sqrt{3}$) найдем модуль и аргумент. $r = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{a}{r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\sin\phi = \frac{b}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Точка $(2, -2\sqrt{3})$ находится в четвертой четверти, поэтому $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = 4e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$; Показательная форма: $4e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Представим комплексное число $z = -3 + 3i$ в тригонометрической и показательной форме. Для $z = -3 + 3i$, имеем $a=-3$ и $b=3$.

Найдем модуль: $r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\phi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Точка $(-3, 3)$ находится во второй четверти, поэтому $\phi = \frac{3\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма: $z = 3\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$.
Показательная форма: $z = 3\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $3\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$; Показательная форма: $3\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

Сначала упростим выражение $z = (-3 + 3i)^2$. $z = (-3)^2 + 2(-3)(3i) + (3i)^2 = 9 - 18i + 9i^2 = 9 - 18i - 9 = -18i$.

Теперь для числа $z = -18i$ (где $a=0, b=-18$) найдем модуль и аргумент. $r = \sqrt{0^2 + (-18)^2} = \sqrt{18^2} = 18$.

Найдем аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{0}{18} = 0$ $\sin\phi = \frac{-18}{18} = -1$ Точка $(0, -18)$ лежит на отрицательной части мнимой оси, поэтому $\phi = -\frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма: $z = 18(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Показательная форма: $z = 18e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $18(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$; Показательная форма: $18e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен:

34.16. а) $\frac{\pi}{4}$;

б) $\frac{3\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$;

в) $-\frac{3\pi}{4}$;

г) $-\frac{3\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{4}$.

Для решения этой задачи вспомним, что любое комплексное число $z = x + iy$ (кроме $z=0$) можно представить в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Здесь $r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}$ — это модуль числа, то есть расстояние от начала координат до точки, изображающей число $z$ на комплексной плоскости. Величина $\varphi = \arg(z)$ — это аргумент комплексного числа, который представляет собой угол, образованный радиус-вектором точки $z$ и положительным направлением действительной оси (оси $Ox$). Угол отсчитывается против часовой стрелки.

Множество всех комплексных чисел с одинаковым аргументом $\varphi$ образует на комплексной плоскости луч, исходящий из начала координат под углом $\varphi$ к положительной действительной полуоси. Само начало координат (точка $z=0$) не входит в это множество, так как аргумент нуля не определен.

a) $\frac{\pi}{4}$

Нужно изобразить множество всех комплексных чисел $z$, для которых $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$. Угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$ равен $45^\circ$. Все точки, соответствующие этим числам, лежат на луче, который выходит из начала координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению действительной оси. Этот луч находится в первом координатном квадранте и является частью прямой $y=x$ (где $x$ - действительная часть, а $y$ - мнимая), для которой $x > 0$ и $y > 0$.

Ответ: Луч, исходящий из начала координат под углом $\frac{\pi}{4}$ к положительной действительной полуоси, не включая начало координат.

б) $\frac{3\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$

В этом случае искомое множество является объединением двух множеств: чисел с аргументом $\frac{3\pi}{4}$ и чисел с аргументом $-\frac{\pi}{4}$.

1. Аргумент $\varphi_1 = \frac{3\pi}{4}$ соответствует углу $135^\circ$. Это луч, выходящий из начала координат и расположенный во втором координатном квадранте. Он лежит на прямой $y=-x$ для $x < 0$.

2. Аргумент $\varphi_2 = -\frac{\pi}{4}$ соответствует углу $-45^\circ$. Это луч, выходящий из начала координат и расположенный в четвертом координатном квадранте. Он лежит на той же прямой $y=-x$, но для $x > 0$.

Так как разность углов $\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \pi$, эти два луча являются противоположно направленными и вместе образуют одну прямую линию, из которой удалена точка начала координат.

Ответ: Прямая $y=-x$ с выколотой точкой в начале координат.

в) $-\frac{3\pi}{4}$

Требуется изобразить множество всех комплексных чисел $z$, у которых $\arg(z) = -\frac{3\pi}{4}$. Угол $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$ равен $-135^\circ$. Положительное значение этого угла равно $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, или $225^\circ$. Это луч, выходящий из начала координат под углом $-135^\circ$ к положительному направлению действительной оси. Он расположен в третьем координатном квадранте и является частью прямой $y=x$, для которой $x < 0$ и $y < 0$.

Ответ: Луч, исходящий из начала координат под углом $-\frac{3\pi}{4}$ к положительной действительной полуоси, не включая начало координат.

г) $-\frac{3\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{4}$

Это множество является объединением двух множеств чисел: с аргументом $-\frac{3\pi}{4}$ и с аргументом $\frac{\pi}{4}$.

1. Аргумент $\varphi_1 = -\frac{3\pi}{4}$ (угол $-135^\circ$) соответствует лучу из пункта в), который расположен в третьем квадранте на прямой $y=x$ (для $x < 0$).

2. Аргумент $\varphi_2 = \frac{\pi}{4}$ (угол $45^\circ$) соответствует лучу из пункта а), который расположен в первом квадранте на прямой $y=x$ (для $x > 0$).

Разность углов $\varphi_2 - \varphi_1 = \frac{\pi}{4} - (-\frac{3\pi}{4}) = \pi$. Следовательно, эти два луча противоположно направлены. Вместе они образуют прямую $y=x$, из которой выколота точка начала координат.

Ответ: Прямая $y=x$ с выколотой точкой в начале координат.

34.17. a) $\frac{2\pi}{3}$;

б) $-\frac{\pi}{6}$ или $\frac{5\pi}{6}$;

В) $-\frac{5\pi}{6}$;

Г) $-\frac{2\pi}{3}$ или $\frac{\pi}{3}$.

а)

Поскольку в задании приведен только ответ, мы можем предположить, что исходная задача заключалась в решении тригонометрического уравнения с дополнительным условием, которое приводит к единственному ответу. Наиболее вероятная задача — найти решение уравнения $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$, удовлетворяющее условию $x > 0$.

1. Решим уравнение $\cos(x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(x) = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{1}{2}$, имеем $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень также входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

Другие целочисленные значения $k$ дают корни за пределами указанного промежутка.

Таким образом, на промежутке $[-\pi, \pi]$ уравнение имеет два корня: $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$.

3. Применим дополнительное условие $x > 0$.

Из двух найденных корней только $x = \frac{2\pi}{3}$ является положительным.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

б)

В этом случае даны два ответа, что характерно для решения тригонометрического уравнения на определенном промежутке. Предположим, что задача — решить уравнение $\tan(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$.

1. Решим уравнение $\tan(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Общее решение уравнения $\tan(x) = a$ дается формулой $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, имеем $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Подставляем различные целочисленные значения $k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} > \pi$.

При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} < -\pi$.

Таким образом, на промежутке $[-\pi, \pi]$ уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$ или $\frac{5\pi}{6}$

в)

Аналогично пункту а), предположим, что задача состоит в решении уравнения $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$ с дополнительным условием $x < 0$.

1. Решим уравнение $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, общее решение имеет вид: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi, \pi]$.

Для серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{5\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi, \pi]$.

Другие значения $k$ дают корни за пределами промежутка.

Итак, на промежутке $[-\pi, \pi]$ есть два корня: $\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6}$.

3. Применим дополнительное условие $x < 0$.

Из двух найденных корней только $x = -\frac{5\pi}{6}$ является отрицательным.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}$

г)

Аналогично пункту б), предположим, что задача — решить уравнение $\tan(x) = \sqrt{3}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$.

1. Решим уравнение $\tan(x) = \sqrt{3}$.

Общее решение: $x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, общее решение имеет вид: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$.

Подставляем различные целочисленные значения $k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток $[-\pi, \pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} > \pi$.

При $k=-2$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} < -\pi$.

Таким образом, на промежутке $[-\pi, \pi]$ уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$ или $\frac{\pi}{3}$

34.18. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:

а) положителен;

б) отрицателен;

в) больше чем $\frac{\pi}{2}$;

г) меньше чем $\frac{\pi}{4}$.

Для решения задачи будем использовать комплексную плоскость, где по горизонтальной оси откладывается действительная часть числа ($Re(z) = x$), а по вертикальной — мнимая ($Im(z) = y$). Аргумент комплексного числа $z = x + iy$, обозначаемый как $\arg(z)$, — это угол $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и вектором, проведенным из начала координат в точку $(x, y)$. Угол отсчитывается против часовой стрелки. Мы будем использовать главное значение аргумента, которое принято определять в интервале $(-\pi, \pi]$. Начало координат $z=0$ не имеет определенного аргумента и исключается из всех рассматриваемых множеств.

Условие "аргумент положителен" означает, что $\arg(z) > 0$. Если рассматривать главное значение аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$, то это условие превращается в двойное неравенство $0 < \varphi \le \pi$.

Углу $\varphi = 0$ соответствуют точки на положительной действительной полуоси ($x>0, y=0$). Эти точки не включаются в множество, так как неравенство $0 < \varphi$ строгое.

Углу $\varphi = \pi$ соответствуют точки на отрицательной действительной полуоси ($x<0, y=0$). Эти точки включаются в множество, так как $\pi > 0$.

Углам в интервале $0 < \varphi < \pi$ соответствуют все точки, лежащие в первой и второй координатных четвертях. Это область, где мнимая часть комплексного числа строго положительна ($y > 0$), то есть вся верхняя полуплоскость.

Ответ: Искомое множество — это вся верхняя полуплоскость ($Im(z) > 0$), дополненная точками отрицательной действительной полуоси ($Re(z) < 0, Im(z) = 0$).

Условие "аргумент отрицателен" означает, что $\arg(z) < 0$. Для главного значения аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$ это условие эквивалентно неравенству $-\pi < \varphi < 0$.

Это неравенство описывает все углы, находящиеся в третьей и четвертой координатных четвертях. Этим точкам соответствуют комплексные числа, у которых мнимая часть строго отрицательна ($y < 0$).

Точки на действительной оси не входят в это множество, так как для них аргумент равен $0$ (для положительных чисел) или $\pi$ (для отрицательных чисел), что не удовлетворяет условию $\arg(z) < 0$.

Ответ: Искомое множество — это вся нижняя полуплоскость, не включая действительную ось. Математически это множество точек $z$, для которых $Im(z) < 0$.

Условие "аргумент больше чем $\frac{\pi}{2}$" означает, что $\arg(z) > \frac{\pi}{2}$. Для главного значения аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$ это условие задается неравенством $\frac{\pi}{2} < \varphi \le \pi$.

Это неравенство описывает угловой сектор.

Граница сектора, соответствующая углу $\varphi = \frac{\pi}{2}$, — это положительная мнимая полуось ($x=0, y>0$). Точки на ней не входят в множество, так как неравенство $\arg(z) > \frac{\pi}{2}$ строгое.

Граница сектора, соответствующая углу $\varphi = \pi$, — это отрицательная действительная полуось ($x<0, y=0$). Точки на ней входят в множество, так как $\pi > \frac{\pi}{2}$.

Все точки между этими лучами-границами лежат во второй координатной четверти ($x<0, y>0$).

Ответ: Искомое множество — это открытая вторая координатная четверть ($Re(z) < 0, Im(z) > 0$) вместе с точками на отрицательной действительной полуоси ($Re(z) < 0, Im(z) = 0$).

Условие "аргумент меньше чем $\frac{\pi}{4}$" означает, что $\arg(z) < \frac{\pi}{4}$. Для главного значения аргумента $\varphi \in (-\pi, \pi]$ это условие записывается в виде неравенства $-\pi < \varphi < \frac{\pi}{4}$.

Это неравенство описывает открытый угловой сектор.

Одна граница сектора — это луч, выходящий из начала координат под углом $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Он описывается уравнением $y=x$ при $x>0$. Точки на этом луче не входят в искомое множество из-за строгости неравенства.

Другая "граница" соответствует углу $\varphi$, стремящемуся к $-\pi$. Точки с аргументом $\varphi = \pi$ (отрицательная действительная полуось) не удовлетворяют условию $\pi < \frac{\pi}{4}$, поэтому они не входят в множество.

Таким образом, в искомое множество входят все точки комплексной плоскости, кроме тех, чей аргумент $\varphi$ лежит в промежутке $[\frac{\pi}{4}, \pi]$.

Ответ: Вся комплексная плоскость, за исключением начала координат и замкнутого углового сектора, содержащего точки $z$, для которых $\frac{\pi}{4} \le \arg(z) \le \pi$.

34.19. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:

а) больше чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше чем $\frac{3\pi}{4}$;

б) больше чем $\frac{3\pi}{4}$, но меньше чем $\frac{\pi}{6}$;

в) больше чем $\frac{3\pi}{4}$ или меньше чем $\frac{\pi}{6}$;

г) отличается от $-\frac{2\pi}{3}$ не более чем на $\frac{\pi}{6}$.

а) больше чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше чем $\frac{3\pi}{4}$

Пусть $z$ - комплексное число, а $\phi = \arg(z)$ - его аргумент. Условие задачи означает, что аргумент числа должен удовлетворять строгому двойному неравенству:

$\frac{\pi}{2} < \phi < \frac{3\pi}{4}$

На комплексной плоскости это множество представляет собой внутреннюю область угла (открытый угловой сектор). Этот сектор ограничен двумя лучами, исходящими из начала координат (точки $z=0$). Первый луч соответствует углу $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ (это положительная часть мнимой оси), а второй луч - углу $\phi_2 = \frac{3\pi}{4}$ (это луч во второй координатной четверти, образующий угол $135^\circ$ с положительным направлением действительной оси). Поскольку неравенства строгие, точки на самих лучах (границах сектора) не принадлежат искомому множеству. Точка $z=0$ (начало координат) также не принадлежит множеству, так как для нее аргумент не определен.

Ответ: Искомое множество представляет собой открытый угловой сектор во второй координатной четверти, заключенный между лучами $\arg(z)=\frac{\pi}{2}$ и $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$. Границы сектора и начало координат в множество не входят.

б) больше чем $-\frac{3\pi}{4}$, но меньше чем $\frac{\pi}{6}$

Аналогично предыдущему пункту, условие можно записать в виде неравенства для аргумента $\phi = \arg(z)$:

$-\frac{3\pi}{4} < \phi < \frac{\pi}{6}$

Это множество является открытым угловым сектором, ограниченным двумя лучами, выходящими из начала координат. Первый луч соответствует углу $\phi_1 = -\frac{3\pi}{4}$ (луч в третьей четверти, образующий угол $-135^\circ$ с положительным направлением действительной оси). Второй луч соответствует углу $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$ (луч в первой четверти, образующий угол $30^\circ$). Сектор включает в себя часть третьей четверти, всю четвертую четверть (включая положительную действительную ось) и часть первой четверти. Так как неравенства строгие, сами лучи-границы и начало координат не принадлежат множеству.

Ответ: Искомое множество - это открытый угловой сектор, ограниченный лучами $\arg(z)=-\frac{3\pi}{4}$ и $\arg(z)=\frac{\pi}{6}$. Этот сектор содержит положительную действительную ось. Границы сектора и начало координат в множество не входят.

в) больше чем $\frac{3\pi}{4}$ или меньше чем $-\frac{\pi}{6}$

Данное условие представляет собой объединение двух неравенств для аргумента $\phi = \arg(z)$:

$\phi > \frac{3\pi}{4}$ или $\phi < -\frac{\pi}{6}$

Будем рассматривать главное значение аргумента, которое обычно выбирается в интервале $(-\pi, \pi]$. Тогда условие можно переписать так:

$(\frac{3\pi}{4} < \phi \leq \pi)$ или $(-\pi < \phi < -\frac{\pi}{6})$

Это множество представляет собой объединение двух секторов, которые вместе образуют один большой открытый угловой сектор. Этот сектор ограничен лучами $\phi_1 = \frac{3\pi}{4}$ (во второй четверти) и $\phi_2 = -\frac{\pi}{6}$ (в четвертой четверти). В искомое множество попадают все точки, лежащие в секторе, который содержит отрицательную действительную ось. Граничные лучи не включаются в множество, так как исходные неравенства строгие. Начало координат также исключено.

Ответ: Искомое множество - это открытый угловой сектор, ограниченный лучами $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$ и $\arg(z)=-\frac{\pi}{6}$, и содержащий отрицательную действительную ось. Границы сектора и начало координат в множество не входят.

г) отличается от $-\frac{2\pi}{3}$ не более чем на $\frac{\pi}{6}$

Это условие означает, что расстояние между аргументом числа $\phi = \arg(z)$ и значением $-\frac{2\pi}{3}$ не превышает $\frac{\pi}{6}$. Математически это записывается с помощью модуля:

$|\phi - (-\frac{2\pi}{3})| \leq \frac{\pi}{6}$

Раскроем модуль:

$-\frac{\pi}{6} \leq \phi + \frac{2\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6}$

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \leq \phi \leq -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \leq \phi \leq -\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{5\pi}{6} \leq \phi \leq -\frac{\pi}{2}$

Это множество представляет собой замкнутый угловой сектор, расположенный в третьей координатной четверти. Он ограничен лучами $\phi_1 = -\frac{5\pi}{6}$ (угол $-150^\circ$) и $\phi_2 = -\frac{\pi}{2}$ (отрицательная мнимая ось). Поскольку неравенство нестрогое ("не более чем"), граничные лучи принадлежат искомому множеству. Начало координат по-прежнему исключено.

Ответ: Искомое множество - это замкнутый угловой сектор в третьей четверти, ограниченный лучами $\arg(z)=-\frac{5\pi}{6}$ и $\arg(z)=-\frac{\pi}{2}$. Границы сектора включаются в множество, а начало координат - нет.