Страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.41. a) Среди корней $z$ уравнения $\sqrt{3}(z + \bar{z})(z - \bar{z}) = 4i^9$ найдите число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{6}$.

б) Среди корней $z$ уравнения $\text{Re } z \cdot \text{Im } \bar{z} = \frac{\sqrt{3}}{i^6}$ найдите число, аргумент которого равен $\frac{\pi}{3}$.

а)

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число равно $\bar{z} = x - iy$.

Выразим множители в левой части уравнения через $x$ и $y$:
$z + \bar{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$
$z - \bar{z} = (x + iy) - (x - iy) = 2iy$

Упростим правую часть уравнения. Вычислим степень мнимой единицы $i$:
$i^9 = i^{4 \cdot 2 + 1} = (i^4)^2 \cdot i^1 = 1^2 \cdot i = i$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$\sqrt{3}(2x)(2iy) = 4i$
$4\sqrt{3}ixy = 4i$
Разделив обе части на $4i$ (что возможно, так как $4i \ne 0$), получим первое уравнение для $x$ и $y$:
$\sqrt{3}xy = 1$, или $xy = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

По условию, аргумент искомого числа равен $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$. Для комплексного числа $z = x + iy$ тангенс его аргумента $\phi$ равен отношению мнимой части к действительной: $\tan(\phi) = \frac{y}{x}$.
Получаем второе уравнение:
$\frac{y}{x} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Теперь решим систему из двух уравнений:
1) $xy = \frac{1}{\sqrt{3}}$
2) $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{x^2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Поскольку аргумент числа равен $\frac{\pi}{6}$, оно находится в первой координатной четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно, мы выбираем $x=1$.
Тогда $y = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, искомое комплексное число $z = x+iy = 1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $z = 1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}$

б)

Рассмотрим уравнение $\text{Re} z \cdot \text{Im} \bar{z} = \frac{\sqrt{3}}{i^6}$.
Пусть $z = x + iy$. Тогда действительная часть $z$ равна $\text{Re} z = x$.
Комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - iy$, его мнимая часть равна $\text{Im} \bar{z} = -y$.

Левая часть уравнения принимает вид:
$\text{Re} z \cdot \text{Im} \bar{z} = x \cdot (-y) = -xy$.

Упростим правую часть. Вычислим $i^6 = i^{4+2} = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.
Тогда правая часть равна $\frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$.

Приравнивая левую и правую части, получаем уравнение:
$-xy = -\sqrt{3}$, что равносильно $xy = \sqrt{3}$.

По условию, аргумент искомого числа равен $\arg(z) = \frac{\pi}{3}$.
Используя соотношение $\tan(\arg z) = \frac{y}{x}$, получаем:
$\frac{y}{x} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, откуда $y = x\sqrt{3}$.

Решим систему уравнений:
1) $xy = \sqrt{3}$
2) $y = x\sqrt{3}$
Подставим $y$ из второго уравнения в первое:
$x(x\sqrt{3}) = \sqrt{3}$
$x^2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Аргумент $\frac{\pi}{3}$ соответствует первой координатной четверти, где $x > 0$ и $y > 0$. Поэтому выбираем $x=1$.
Находим $y$: $y = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Искомое комплексное число $z = x+iy = 1 + i\sqrt{3}$.

Ответ: $z = 1 + i\sqrt{3}$

34.42. а) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию $|zi - 3i + 4| \le \left|\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right|$.

Чему равно наибольшее значение $|z|$?

б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию $|zi - 3 - 4i| \le \left|\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right|$.

Чему равно наименьшее значение $|z|$?

а)

Рассмотрим неравенство $|zi - 3i + 4| \le |\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i|$.

Сначала вычислим модуль комплексного числа в правой части неравенства:

$|\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь преобразуем выражение в левой части. Вынесем $i$ за скобки внутри модуля:

$|zi - 3i + 4| = |i(z - 3 + \frac{4}{i})|$.

Так как $\frac{1}{i} = -i$, то $\frac{4}{i} = -4i$. Получаем:

$|i(z - 3 - 4i)| = |i(z - (3+4i))|$.

Используя свойство модуля $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ и то, что $|i|=1$, имеем:

$|i| \cdot |z - (3+4i)| = 1 \cdot |z - (3+4i)| = |z - (3+4i)|$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$|z - (3+4i)| \le 1$.

Геометрически, выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. В нашем случае $z_0 = 3+4i$. Следовательно, данное неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0=3+4i$ не превышает 1. Это замкнутый круг с центром в точке $C(3, 4)$ и радиусом $R=1$. На комплексной плоскости это круг, включая его границу, с центром в точке, соответствующей комплексному числу $3+4i$.

Теперь найдем наибольшее значение $|z|$. Величина $|z|$ — это расстояние от точки $z$ до начала координат $(0,0)$. Наибольшее значение $|z|$ для точек круга будет достигаться в точке, которая лежит на окружности и является наиболее удаленной от начала координат. Эта точка находится на прямой, проходящей через начало координат и центр круга $C(3,4)$.

Расстояние от начала координат до центра круга равно $|z_0| = |3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Наибольшее расстояние от начала координат до точки на окружности равно сумме расстояния от начала координат до центра и радиуса круга:

$|z|_{max} = |z_0| + R = 5 + 1 = 6$.

Ответ: Множество чисел $z$ представляет собой замкнутый круг с центром в точке $(3, 4)$ и радиусом $1$. Наибольшее значение $|z|$ равно $6$.

б)

Рассмотрим неравенство $|zi - 3 - 4i| \le |\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i|$.

Вычислим модуль комплексного числа в правой части:

$|\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Преобразуем выражение в левой части. Вынесем $i$ за скобки:

$|zi - 3 - 4i| = |i(z - \frac{3}{i} - 4)|$.

Так как $\frac{1}{i} = -i$, то $\frac{3}{i} = -3i$. Получаем:

$|i(z - (-3i) - 4)| = |i(z - (4-3i))|$.

Используя свойство модуля $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ и то, что $|i|=1$, имеем:

$|i| \cdot |z - (4-3i)| = 1 \cdot |z - (4-3i)| = |z - (4-3i)|$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$|z - (4-3i)| \le 1$.

Это неравенство описывает множество всех точек $z$ на комплексной плоскости, расстояние от которых до точки $z_0=4-3i$ не превышает 1. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $C(4, -3)$ и радиусом $R=1$.

Теперь найдем наименьшее значение $|z|$. Наименьшее значение $|z|$ для точек круга будет достигаться в точке, которая лежит на окружности и является наименее удаленной от начала координат. Эта точка находится на прямой, проходящей через начало координат и центр круга $C(4, -3)$.

Расстояние от начала координат до центра круга равно $|z_0| = |4-3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Так как расстояние до центра ($5$) больше радиуса ($1$), начало координат находится вне круга. Наименьшее расстояние от начала координат до точки на окружности равно разности расстояния от начала координат до центра и радиуса круга:

$|z|_{min} = |z_0| - R = 5 - 1 = 4$.

Ответ: Множество чисел $z$ представляет собой замкнутый круг с центром в точке $(4, -3)$ и радиусом $1$. Наименьшее значение $|z|$ равно $4$.

35.1. Найдите все действительные значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2 - 4x + a = 0$:

а) имеет только один корень;

б) имеет два действительных корня;

в) не имеет действительных корней;

г) имеет два действительных корня разных знаков.

Данное уравнение $x^2 - 4x + a = 0$ является квадратным. Количество его действительных корней зависит от знака дискриминанта $D$. Вычислим дискриминант для этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

а) имеет только один корень;

Квадратное уравнение имеет только один действительный корень (или два совпадающих корня), когда его дискриминант равен нулю.
$D = 0$
$16 - 4a = 0$
$4a = 16$
$a = 4$
Ответ: $a = 4$.

б) имеет два действительных корня;

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант больше нуля.
$D > 0$
$16 - 4a > 0$
$16 > 4a$
$a < 4$
Ответ: $a < 4$.

в) не имеет действительных корней;

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант меньше нуля.
$D < 0$
$16 - 4a < 0$
$16 < 4a$
$a > 4$
Ответ: $a > 4$.

г) имеет два действительных корня разных знаков.

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня разных знаков, должны одновременно выполняться два условия:
1. Уравнение должно иметь два различных действительных корня, что означает $D > 0$. Из пункта б) мы знаем, что это условие выполняется при $a < 4$.
2. Корни $x_1$ и $x_2$ должны иметь разные знаки. Это значит, что их произведение должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.
Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = a$.
Таким образом, второе условие записывается как $a < 0$.
Теперь объединим оба условия в систему неравенств:
$\begin{cases} a < 4 \\ a < 0 \end{cases}$
Решением этой системы является пересечение промежутков, то есть $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

35.2. Найдите все действительные значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2 + ax + 9 = 0$:

а) имеет хотя бы один действительный корень;

б) не имеет действительных корней;

в) имеет хотя бы один отрицательный корень;

г) имеет два действительных корня, больших чем 1.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + ax + 9 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого мы можем определить дискриминант $D$ для анализа количества действительных корней.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $b=a$, $a=1$, $c=9$.

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$.

Наличие и количество действительных корней зависят от знака дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) имеет хотя бы один действительный корень;

Условие "имеет хотя бы один действительный корень" означает, что уравнение имеет либо один, либо два действительных корня. Это соответствует случаю, когда дискриминант неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Решим неравенство:

$a^2 - 36 \ge 0$

$a^2 \ge 36$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $a \le -6$ и $a \ge 6$.

Ответ: $a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

б) не имеет действительных корней;

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго отрицателен, то есть $D < 0$.

Решим неравенство:

$a^2 - 36 < 0$

$a^2 < 36$

Решением этого неравенства является интервал $-6 < a < 6$.

Ответ: $a \in (-6, 6)$.

в) имеет хотя бы один отрицательный корень;

Сначала убедимся, что у уравнения есть действительные корни, то есть $D \ge 0$, что, как мы выяснили в пункте а), выполняется при $a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для корней $x_1$ и $x_2$ нашего уравнения справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -a$

$x_1 \cdot x_2 = 9$

Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 9$ положительно, оба корня должны иметь одинаковый знак (либо оба положительны, либо оба отрицательны). Следовательно, если хотя бы один корень отрицателен, то и второй корень тоже должен быть отрицательным.

Для того чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной: $x_1 + x_2 < 0$.

$-a < 0 \implies a > 0$.

Теперь объединим оба условия для параметра $a$: наличие корней и их отрицательность.

$\begin{cases} a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \\ a > 0 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $[6, \infty)$.

Ответ: $a \in [6, \infty)$.

г) имеет два действительных корня, больших чем 1.

Пусть $f(x) = x^2 + ax + 9$. Условие "имеет два действительных корня" означает, что $D \ge 0$. Нам нужно найти такие значения $a$, при которых оба корня $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условию $x_1 > 1$ и $x_2 > 1$.

Для этого должны выполняться три условия для параболы $y = f(x)$, ветви которой направлены вверх:

1. Наличие действительных корней: $D = a^2 - 36 \ge 0$, что дает $a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.
2. Абсцисса вершины параболы $x_в = -\frac{a}{2}$ должна быть больше 1: $-\frac{a}{2} > 1 \implies -a > 2 \implies a < -2$.
3. Значение функции в точке $x=1$ должно быть положительным (так как 1 находится левее обоих корней, а ветви параболы идут вверх): $f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + 9 > 0 \implies a + 10 > 0 \implies a > -10$.

Соберем все три условия в систему неравенств:

$\begin{cases} a \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \\ a < -2 \\ a > -10 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $a$ должно находиться в интервале $(-10, -2)$.

Теперь найдем пересечение этого интервала с множеством из первого условия:

$(-10, -2) \cap ((-\infty, -6] \cup [6, \infty))$

Результатом пересечения является полуинтервал $(-10, -6]$.

Ответ: $a \in (-10, -6]$.

35.3. Найдите все действительные значения параметра $a$, при которых уравнение $ax^2 + 8x + 16 = 0$:

а) имеет только один корень;

б) имеет действительный положительный корень;

в) имеет два действительных корня разных знаков;

г) имеет два действительных корня, сумма квадратов ко- торых равна 1.

Рассмотрим данное уравнение $ax^2 + 8x + 16 = 0$.

а) имеет только один корень

Уравнение имеет только один корень в двух случаях:

1. Если уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю.При $a = 0$ уравнение принимает вид $8x + 16 = 0$. Оно имеет единственный корень $x = -2$. Следовательно, $a=0$ является решением.

2. Если уравнение является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант равен нулю.Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot a \cdot 16 = 64 - 64a = 64(1-a)$.Приравняем дискриминант к нулю: $D = 64(1-a) = 0$. Отсюда получаем $1-a = 0$, то есть $a=1$.При $a=1$ уравнение имеет один корень (кратный корень).Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет ровно один корень при $a=0$ и $a=1$.
Ответ: $a=0; a=1$.

б) имеет действительный положительный корень

Сначала рассмотрим случай $a=0$. Уравнение имеет вид $8x + 16 = 0$, корень $x=-2$. Этот корень не является положительным.

Теперь рассмотрим случай $a \neq 0$. Уравнение является квадратным. Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант $D = 64(1-a)$ был неотрицательным, то есть $D \geq 0$, что эквивалентно $a \leq 1$.Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета, их сумма $x_1 + x_2 = -\frac{8}{a}$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{a}$.

Хотя бы один корень положителен, если неверно, что оба корня неположительны ($x_1 \leq 0$ и $x_2 \leq 0$).Условиями того, что оба корня неположительны, являются:$\begin{cases} D \geq 0 \\ x_1 + x_2 \leq 0 \\ x_1 \cdot x_2 \geq 0 \end{cases}$$\begin{cases} a \leq 1 \\ -\frac{8}{a} \leq 0 \\ \frac{16}{a} \geq 0 \end{cases}$Из второго и третьего неравенств следует, что $a > 0$. С учетом первого неравенства ($a \leq 1$), получаем, что оба корня неположительны при $a \in (0, 1]$.

Действительные корни существуют при $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 1]$. Чтобы найти значения $a$, при которых есть хотя бы один положительный корень, нужно из этого множества исключить промежуток, где оба корня неположительны, то есть $(0, 1]$.В результате остается промежуток $a \in (-\infty, 0)$.Действительно, если $a < 0$, то произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{a} < 0$, что означает, что корни имеют разные знаки, и один из них обязательно положительный.
Ответ: $a \in (-\infty, 0)$.

в) имеет два действительных корня разных знаков

Уравнение имеет два действительных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант $D > 0$. Условие $D = 64(1-a) > 0$ выполняется при $a < 1$.Корни имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{a}$.Условие $x_1 \cdot x_2 < 0$ означает, что $\frac{16}{a} < 0$, что выполняется при $a < 0$.Если $a < 0$, то условие $a < 1$ выполняется автоматически, а значит и $D > 0$.Следовательно, требуемые значения параметра $a$ — это все $a < 0$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0)$.

г) имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня, необходимо, чтобы $a \neq 0$ и $D > 0$, то есть $a < 1$.Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 1$.Используя теорему Виета, преобразуем это условие:$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 1$.$x_1+x_2 = -\frac{8}{a}$ и $x_1x_2 = \frac{16}{a}$.Подставляем в преобразованное условие:$(-\frac{8}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{16}{a}) = 1$$\frac{64}{a^2} - \frac{32}{a} = 1$.Умножим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a \neq 0$):$64 - 32a = a^2$$a^2 + 32a - 64 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:$D_a = 32^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 1024 + 256 = 1280$.$\sqrt{D_a} = \sqrt{1280} = \sqrt{256 \cdot 5} = 16\sqrt{5}$.Корни уравнения для $a$:$a = \frac{-32 \pm 16\sqrt{5}}{2} = -16 \pm 8\sqrt{5}$.Получили два возможных значения: $a_1 = -16 - 8\sqrt{5}$ и $a_2 = -16 + 8\sqrt{5}$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения условию существования двух корней, то есть $a < 1$.1. Значение $a_1 = -16 - 8\sqrt{5}$ является отрицательным, так как это сумма двух отрицательных чисел. Следовательно, $a_1 < 1$, и это значение является решением.2. Сравним значение $a_2 = -16 + 8\sqrt{5}$ с 1:$-16 + 8\sqrt{5} \vee 1 \implies 8\sqrt{5} \vee 17$.Так как обе части положительны, возведем их в квадрат: $(8\sqrt{5})^2 \vee 17^2 \implies 64 \cdot 5 \vee 289 \implies 320 \vee 289$.Поскольку $320 > 289$, то $-16 + 8\sqrt{5} > 1$. При этом значении $a$ дискриминант $D$ исходного уравнения будет отрицательным, и оно не будет иметь действительных корней.Таким образом, подходит только одно значение.
Ответ: $a = -16 - 8\sqrt{5}$.

35.4. Решите уравнение:

a) $z^2 + 144 = 0;$

б) $\frac{5z^2 - 29}{z + 3\sqrt{5}} = z - \sqrt{45};$

В) $z^2 + 441 = 0;$

Г) $\frac{3z^2 + 2004}{z - \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}.$

а) $z^2 + 144 = 0$

Это квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$z^2 = -144$

Чтобы найти $z$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку под корнем находится отрицательное число, решение будет в области комплексных чисел. Используем мнимую единицу $i$, где $i = \sqrt{-1}$.

$z = \pm\sqrt{-144} = \pm\sqrt{144 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{144} \cdot \sqrt{-1}$

Так как $\sqrt{144} = 12$, получаем:

$z = \pm12i$

Уравнение имеет два комплексных сопряженных корня.

Ответ: $z_1 = 12i, z_2 = -12i$.

б) $\frac{5z^2 - 29}{z + 3\sqrt{5}} = z - \sqrt{45}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$z + 3\sqrt{5} \neq 0 \implies z \neq -3\sqrt{5}$

Упростим корень в правой части уравнения:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{5z^2 - 29}{z + 3\sqrt{5}} = z - 3\sqrt{5}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(z + 3\sqrt{5})$, чтобы избавиться от дроби:

$5z^2 - 29 = (z - 3\sqrt{5})(z + 3\sqrt{5})$

Правая часть является произведением разности и суммы двух выражений, что равно разности их квадратов по формуле $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$5z^2 - 29 = z^2 - (3\sqrt{5})^2$

$5z^2 - 29 = z^2 - (9 \cdot 5)$

$5z^2 - 29 = z^2 - 45$

Сгруппируем члены с переменной $z$ в левой части, а постоянные члены — в правой:

$5z^2 - z^2 = -45 + 29$

$4z^2 = -16$

Разделим обе части на 4:

$z^2 = -4$

Извлечем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{-4} = \pm\sqrt{4 \cdot (-1)} = \pm 2i$

Полученные корни $2i$ и $-2i$ не равны $-3\sqrt{5}$, следовательно, они входят в ОДЗ.

Ответ: $z_1 = 2i, z_2 = -2i$.

в) $z^2 + 441 = 0$

Перенесем 441 в правую часть уравнения:

$z^2 = -441$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{-441} = \pm\sqrt{441} \cdot i$

Поскольку $21^2 = 441$, то $\sqrt{441} = 21$.

$z = \pm21i$

Уравнение имеет два комплексных сопряженных корня.

Ответ: $z_1 = 21i, z_2 = -21i$.

г) $\frac{3z^2 + 2004}{z - \sqrt{44}} = z + 2\sqrt{11}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$z - \sqrt{44} \neq 0$

Упростим $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$. Таким образом, $z \neq 2\sqrt{11}$.

Подставим упрощенное значение в уравнение:

$\frac{3z^2 + 2004}{z - 2\sqrt{11}} = z + 2\sqrt{11}$

Умножим обе части на $(z - 2\sqrt{11})$:

$3z^2 + 2004 = (z + 2\sqrt{11})(z - 2\sqrt{11})$

Применим формулу разности квадратов в правой части:

$3z^2 + 2004 = z^2 - (2\sqrt{11})^2$

$3z^2 + 2004 = z^2 - (4 \cdot 11)$

$3z^2 + 2004 = z^2 - 44$

Перенесем члены с $z$ влево, а константы вправо:

$3z^2 - z^2 = -44 - 2004$

$2z^2 = -2048$

Разделим на 2:

$z^2 = -1024$

Извлечем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{-1024} = \pm\sqrt{1024} \cdot i$

Так как $32^2 = 1024$, то $\sqrt{1024} = 32$.

$z = \pm32i$

Полученные корни $32i$ и $-32i$ не равны $2\sqrt{11}$, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $z_1 = 32i, z_2 = -32i$.